EL MEJOR SALTO DE TARZÁN

En mi niñez tuve ocasión de ver y envidiar numerosas veces el cómodo procedimiento de locomoción utilizado por Tarzán con lianas, rápido y sumamente económico en zapatos. En una ocasión se me ocurrió cuál sería el punto en que mi héroe debería soltarse de la liana para caer lo más lejos posible del punto de partida.

Ya de mayor comprendí que este problema es combinación de uno de movimiento pendular con otro de balística, y que ambos forman un conjunto ciertamente enredado. Para resolverlo, debemos empezar por el de balística, hallando la distancia recorrida horizontalmente por un proyectil lanzado hacia arriba un ángulo j, que impacta el suelo a un nivel h inferior al de partida.

c

Conocida es la tradicional ecuación de a parábola que describe un prloyectil lanzado con un ángulo de elevación j y una velocidad inicial v:

Sin más que hacer y = -h tras algunas manipulaciones simplificadoras tendremos el valor de x:

Donde se ha tomado H = v²/2g, es decir, un parámetro representativo de la altura que el proyectil alcanzaría disparado verticalmente con su misma velocidad inicial. Es fácil ver que para h = 0 la fórmula se reduce a la tradicional que da el alcance del proyectil:

Pasemos ahora al problema del rey de los monos. Su movimiento en la liana es asimilable a la oscilación de un péndulo de longitud L y ángulo inicial j_o, del que deberá soltarse en la posición j de éste. A partir de ese momento, Tarzán describirá una trayectoria parabólica definida por el mismo ángulo j y la velocidad que llevaba en el punto de desenganche.

Si, para simplificar, suponemos que la cota a la que va a aterrizar es la del punto más bajo de la trayectoria del péndulo, será:

El alcance final vale X = x + L sin j. Sustituyendo todos estos valores tenemos finalmente:

Esta formidable expresión resulta dificilísima de estudiar por métodos analíticos convencionales. Hemos recurrido al ordenador, obteniendo las gráficas adjuntas, que muestran las relaciones j = j(j₀), y X = X(j₀).

Se observa lo siguiente:

· Para valores bajos de j₀, el ángulo j de desenganche óptimo es casi igual al mismo valor. Posteriormente j disminuye para tender a unos 42^o, valor cercano al del alcance máximo del proyectil.

· El alcance puede ser bastante grande. Para valores inferiores a 90^o (que son los que Tarzán podría tomar) el alcance máximo puede ser hasta unas 4,5 veces la longitud de la liana. Para 90^o de ángulo inicial, el ángulo óptimo de desenganche es 40,98^o, y el alcance es 2,3935 veces la longitud de la liana.

JMAiO, jul 94