EROSIONES MATEMÁTICAS

Es un hecho bien observado que la naturaleza erosiona cualquier piedra arrastrada por un río hasta reducirla a un canto rodado cuya forma recuerda a la inicial, pero sin cantos agudos. Este proceso de redondeo se produce mediante rebajes de sus aristas y vértices, tanto más intensos cuanto más agudos son éstos.

Podemos efectuar matemáticamente una imitación bidimensional de este proceso con la ayuda del ordenador. Partiendo de un polígono dado, un criterio plausible sería ir doblando el número de sus lados mediante achaflanamientos de sus vértices, cada uno de los cuales será sustituido por un nuevo lado (fig. 1). El proceso se realizará de forma que la relación entre la porción de lado suprimida junto a cada vértice sea una fracción fija del lado, que llamaremos "factor de achaflanamiento", f = c/L. Obviamente, sólo podrá hablarse de verdadero achaflanamiento si es f < 1/2.

Empecemos estudiando precisamente este caso extremo, f = 1/2. Fácil es ver que se obtiene en el primer paso un polígono del mismo número de lados que el primitivo, pero más redondeado, pues cada ángulo del nuevo es la semisuma de los adyacentes del antiguo, como es fácil deducir. Como la regla sigue valiendo en las sucesivas iteraciones, acaba llegándose a un polígono equiángulo, aunque no regular, y su tamaño tiende a cero.

Para el caso general, f < 1/2, el número de lados aumenta sin cesar, y el polígono tiende a una curva límite, a la que llamaremos su "canto rodado". No habrá zonas rectas en ésta, pues la porción central remanente de un lado cuyos vértices contiguos han sido sometidos a n truncaduras es (1-f)ⁿ, con lo que su longitud tiende a cero.

Podría pensarse que partiendo de un polígono regular se llegará a una circunferencia, pero no es así. En efecto, de la figura 3 se concluye que el factor f vale:

Como era de esperar, este factor tiende rápidamente a 1/4, valor que podríamos considerar como fronterizo entre los erosionamientos intensos y los débiles.

En efecto, un factor f £ 1/4 redondea con lentitud al producir unas zonas centrales del lado más largas. El resultado final es una curva que recuerda bastante el polígono inicial, tanto más cuanto menor sea f.

En cambio, con factores f francamente mayores de 1/4, el polígono redondea sus vértices con rapidez, y la curva final tiende a asemejarse más a su primer "truncado" de valor f = 1/2.

Para valores de f algo por encima de 1/4 se obtendrán los redondeos más armónicos. Partiendo de polígonos regulares, nos acercaremos bastante a una circunferencia, sin alcanzarla empero, ya que para ello el factor de apuntamiento debería variar en cada iteración.

Comprobemos lo dicho partiendo de un cuadrado. El factor f inicial en un proceso que lo convertiría en octógono, vale f = 1 - Ö2/2 = 0,293, aunque en la segunda truncadura disminuye, tendiendo al valor 0,25. Si mantenemos el primer valor en las sucesivas truncaduras, se obtiene una curva todavía bastante distinta de una circunferencia.

Se han hecho pruebas también para valores de f igual a 1/5, 1/4 y 1/3. Los resultados están a la vista: la curva pasa de tener un aspecto bastante cuadradoide a asemejarse a un rombo. El mejor valor "circunferenciante" está alrededor de 0,30, aunque en ningún caso la conversión alcanzará esta curva exactamente.

JMAiO, oct 93