CÚPULAS GEODÉSICAS

Las grandes iglesias suelen estar rematadas por espléndidas cúpulas; ahí están la de San Pedro en Roma con 42,52 m de diámetro, debida a Miguel Ángel; la de la catedral de Florencia, octogonal, debida a Brunelleschi; la de Saint Paul en Londres de Christopher Wren; la de San Isaac en San Petersburgo; la de San Francisco el Grande en Madrid, de Sabatini, de 33 m de diámetro.

Ya en la Mesopotamia de hace 6.000 años se utilizaba la cúpula como techumbre de las cabañas de adobe de planta circular. No obstante la cúpula es una creación de la arquitectura romana, la del famoso Panteón (c. 118 – 128) mide 43,5 m de diámetro. La cúpula es también característica del arte bizantino, la de Santa Sofía de Constantinopla (532 – 537) mide 31 m de diámetro.

Todas ellas están construidas en piedra o madera, pero a partir de la Revolución Industrial aparecen otros materiales como el hormigón armado, los plásticos, el acero o el aluminio que han permitido aligerar estas construcciones.

A mediados del siglo pasado el arquitecto norteamericano Richard Buckminster Fuller patentó las llamadas cúpulas geodésicas construidas a base de perfiles o riostras estandarizadas que se acoplan con facilidad y rapidez formando sectores tetraédricos u octaédricos que confieren la necesaria rigidez a la construcción. Estas cúpulas, inscribibles en una superficie esférica, permiten cubrir de forma económica grandes espacios sin soportes interiores. Buckminster construyó una de gran belleza para la Exposición Internacional de Montreal de 1967. En España podemos citar la que cubre una sala del museo Dalí de Figueras debida al arquitecto Emilio Pérez Piñero.

La matemática que subyace tras estas construcciones se relaciona con dos curiosos teoremas. El primero, conocido como teorema de Euler, dice que: en todo poliedro convexo, el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos. Este teorema fue demostrado con anterioridad por Descartes. El hecho de atribuir un teorema a quien no fue el primero en descubrirlo se ha producido en varias ocasiones en la historia de las matemáticas.

El otro teorema, debido también a Descartes, dice que: en todo poliedro convexo la suma de los defectos angulares de todos sus vértices es siempre igual a 720º. La suma de los ángulos de cualquier vértice de un poliedro convexo es inferior a 360º, lo cual es obvio ya que si alcanza ese valor el vértice deja de existir. La diferencia entre 360º y la suma de esos ángulos es el llamado “defecto angular”. Al parecer, el área de la esfera puede inferirse, sin ninguna clase de cálculos, como una consecuencia del concepto de déficit angular de Descartes.

La demostración del teorema “de Euler” se puede consultar en cualquier tratado de geometría del espacio. He investigado la demostración del segundo sin ningún éxito. Invito a los carrollistas a dar con ella.

Aristogeronte.

Madrid, enero 2004.

NOTA DE M. A. LERMA

La prueba del teorema de Descartes sobre el déficit angular se puede hacer como sigue. Supongamos que el poliedro tiene C caras, A aristas y V vértices. Supongamos que la primera cara tiene n lados. La suma de sus ángulos es (n-2)p. Sumando para todas la caras y teniendo en cuenta que cada arista es compartida por dos caras obtenemos 2p(A - C). Puesto que hay V vértices el defecto angular total es 2pV – 2p(A - C) = 2p(V – A + C). Según la fórmula de Euler V – A + C = 2, luego el defecto angular total es 4p, QED.

La relación con el área de la esfera se puede establecer a partir de un resultado de trigonometría esférica: el área de un triángulo esférico es r² multiplicado por el exceso angular del triángulo (suma de sus ángulos menos p). Si triangulamos la esfera con triángulos esféricos tenemos que el área de la esfera es r² multiplicado por la suma de todos los excesos angulares de los triángulos esféricos; llamémoslo exceso angular total.

Consideremos ahora el poliedro obtenido uniendo los vértices de cada triángulo con líneas rectas en vez de segmentos de círculo máximo. El defecto angular total del poliedro es igual al exceso angular total de la triangulación esférica (¿se ve por qué?), por lo tanto el exceso angular total es 4p. Consecuentemente, el área de la esfera es 4pr².