CUESTIÓN DE TRIANGULARIDAD

De una terna de números se dice que es triangular cuando con segmentos de tales dimensiones puede construirse un triángulo en el plano (euclídeo, para no complicar las cosas de momento). Esto implica que cada uno de los tres números sea estrictamente menor que la suma de los otros dos.

La cuestión que ahora planteo es la siguiente: ¿Existen números reales positivos X tales que la sucesión de sus potencias tenga la propiedad de "triangularidad"? Es decir, que tomados tres términos sucesivos cualesquiera de la sucesión de potencias de x, se pueda construir un triángulo con tales valores.

Lo curioso de esta cuestión es que, bajo una apariencia fuerte, es de una gran sencillez. ¡Por supuesto que existen estos valores de X! Y son bastante especiales, y al mismo tiempo muy conocidos de todos los amigos de [C].

J. A. Echagüe.

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Solución.

Si no me he equivocado (cosa harto frecuente en mí, según vengo observando) tal propiedad se satisface para los valores de X menores que, f y mayores que f - 1, y sólo para ellos (donde f, naturalmente, para variar, es el “número aúreo”).

Otra propiedad del famoso numerito. Propiedad que, por cierto, da que pensar. Es de sobra conocida la omnipresencia de proporciones aúreas (o de sus hermanos los términos de la Sucesión de Fibonacci) en muchos procesos naturales . ¿Podrá tener algo que ver con que sólo para estos valores acotados se dé la posibilidad de triangularidad de tres valores o de tres fuerzas en sucesión geométrico potencial, y no para otros valores mayores o menores?

J. A. E.

NOTA DE JMAiO: La solución que da el propio JAE es impecable. Según la propiedad fundamental de la triangularidad, deberá ser xⁿ + xⁿ⁺¹ > xⁿ⁺² si x > 1, o xⁿ < xⁿ⁺¹ + xⁿ⁺² si x < 1. La frontera de esos campos de valores se dará sustituyendo las anteriores desigualdades por igualdades, de donde salen fácilmente las soluciones dadas.

No veo por mi parte aplicación a la naturaleza de esta propiedad, pero me atrevería a decir que hayla: quizás habría que investigar por el “triángulo dorado” (el de ángulos 72º-72º-36º) y sus sucesivas ampliaciones (que definen la espiral de la figura), que van definiendo radios vectores que son múltiplos fibonaccianos de f más otros números de Fibonacci (GF = f; FE = f + 1; ED = 2f + 1; DC = 3f + 2; CB = 5f + 3; BA = 8f + 5;... Pero también las potencias de f son expresables como combinación lineal del mismo: f² = 1 + f; f³ = 2 + f; f⁴ = 2 + 3f; etc... ¡Es decir, los mismos números!