¿COMO CORTAR EL QUESO?
Los aficionados al queso de Camembert saben que éste
suele presentarse en piezas discoidales. Saben también que suele cortarse en
sectores para su consumo, y que al dejar parte del queso cortado y sin
consumir, la zona del corte se seca y pierde su delicioso sabor.
Procede pues, si no vamos a terminar en un mismo día todo
el disco de queso, cortarlo de la forma más eficaz posible para evitar
pérdidas. Centraremos nuestra atención en el caso en que deseamos hacer
porciones del mismo tamaño.
El problema, matemáticamente, se planteará así: Dado un círculo de radio unidad, ¿cómo
dividirlo en n partes de la misma área de forma que el perímetro fronterizo sea
de la menor longitud posible?
Para n=2 ó n=3 las soluciones son triviales: el corte se
hará según un diámetro en el primer caso, y según tres sectores de 120º en el segundo, como vemos en la figura.
Pero, para n = 4 la cosa empieza ya a complicarse. Pues
un corte según cuatro sectores de 90º arrojaría una longitud de corte L = 4,
mientras que el sistema indicado en la figura de la izquierda basta con L = 3,9624.
Esta división se ha obtenido recordando la conocida
propiedad de que el punto situado en el interior de un triángulo cuya suma de
distancias a los tres vértices es mínima es el que ve éstos bajo ángulos de
120º. Sin embargo, todavía puede mejorarse: intuitivamente se comprende que, al
no ser los segmentos rectos incidentes sobre la circunferencia perpendiculares
a ésta, podrían ser substituidos por arcos de curva que cumplieran con esta
condición. Tomándolos de circunferencias ortogonales al contorno, se mejora
todavía algo, llegando a la figura de la derecha, donde L = 3,9412.
Sospecho que ésta es la mejor solución. ¿Algún lector de
CARROLLIA puede mejorarla?
Y, claro, queda abierto el campo de qué hacer cuando n
toma valores superiores. Seguramente las mejores soluciones estarán formadas de
arcos de circunferencia incidiendo normalmente sobre el perímetro del disco
exterior, y entre ellos bajo ángulos de 120º, definiendo a partir de un momento
dado zonas interiores de curiosas formas.
¿Quién se anima a seguir con el problema?
Josep
M. Albaigès
Barcelona,
julio 1988