...Y LA VACA SIGUE DANDO LECHE

Volviendo a la vaca en el campo circular, el tema es susceptible de otra generalización. Si prescindimos de que la vaca tenga que estar amarrada en un punto del perímetro, el área de hierba comestible es el de la lúnula cumún a dos círculos. En el caso más general (v. figura) se llega a unas fórmulas incómodas pero bellas por su simetría:

Observemos que (r,R,a) son los lados de un triángulo, cuyos ángulos respectivamente opuestos son (α,β,π-α-β). Con lo que el cálculo de los ángulos α y β, que es facilísimo mediante las fórmulas de Neper, carece de interés.

Sin embargo, pueden resultar instructivas las gráficas de S/S₌ (siendo S₀ = πr²), que marcan la relación existente entre el área de la lúnula y la del círculo de partida.

Como en realidad r y R son equivalentes, basta con considerar las gráficas correspondientes a valores de R mayores de la unidad. De ahí resultan las gráficas adjuntas. Podemos ver en ellas que el caso clásico, de la vaca amarrada en el perímetro, corresponde al caso particular a/r = 1. Habrá que resolver la ecuación trascendente correspondiente a S/S_o=1/2, que proporciona un valor R/r= 1,158728...

También resulta sencillo el caso tridimensional, pues el triángulo anterior sigue siendo el mismo, mientras que las fórmulas del volumen pasan a ser:

Procediendo como antes, para el caso a = r se obtiene una relación R/r = 1,099934...

Josep M. Albaigès

Barcelona, diciembre 1991