EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO PROMEDIO

Las teorías sobre el “hombre promedio” del sabio belga Quetelet provocaron en su día fuertes debates. Entre las críticas más intensas, estaban las que le negaban “viabilidad biológica”, alegando que esa abstracción en ningún caso representará un ser humano de carne y hueso, sino meramente una abstracción sobre la que era posible construir nada. “El hombre promedio no es hombre, de la misma manera que el triángulo promedio entre dos o más triángulos rectángulos no es rectángulo en general”, decían los críticos.

Ese aspecto matemático ha llamado nuestra atención, conque hemos decidido comprobarlo.

Sea un triángulo rectángulo. Sin mengua d la generalidad, podemos suponer que su hipotenusa vale la unidad, con lo que sus catetos serán cos a y sen a. Vamos a promediarlo con otros dos triángulos, cuyos lados, también sin faltar a la generalidad, podemos suponer que valen k₁ (la hipotenusa), k₁cos w₁, k₁sin w₁ para el primero, y k₂, k₂cos w₂, k₂sen w₂ para el segundo. Para simplificar, tomaremos la suma de los lados en vez de su promedio, lo que tampoco resta generalidad. Desde luego se verificará:

Desarrollando la expresión y simplificando, se llega a:

Observemos que el primer sumando de la izquierda siempre será menor o igual que k₁, el segundo será menor o igual que k₂ y el tercero será menor o igual que k₁k₂. El único medio de que pueda cumplirse la igualdad es por tanto que:

a = w₁ = w₂

O bien que:

k₁ = k₂ = 0

El primer caso corresponde al hecho de que los tres triángulos son semejantes, y el segundo a que el segundo y el tercero sean de lados nulos.

Fácilmente se generalizaría este resultado para más sumandos, con lo que quedaría demostrado que la única posibilidad para que el triángulo suma de dos más triángulos sea rectángulo es (fuera del caso trivial en que todos menos uno sean nulos), que sean semejantes.

Por cierto, es interesante observar que en todos los casos se cumplirá que el miembro de la izquierda será menor que el de la derecha, lo que es tanto como decir que el “triángulo promedio” será siempre obtusángulo. Sin duda los detractores de la teoría de Quetelet hubieran ampliado sus conclusiones de haberse fijado en este detalle.

Josep M. Albaigès i Olivart

Barcelona, noviembre 1999