TRIANGULANDO TRIÁNGULOS
Se
dice que en el frontis de la entrada a
una célebre y ajardinada Academia de la Grecia clásica una leyenda bien visible vetaba el ingreso a
los ignorantes de la Geometría.
Desgraciadamente
hoy en día no habría problemas de aparcamiento frente a tan afamada
institución, al ser norma general la ignorancia de la Geometría, cosa nada
extraña dado que su estudio, en la forma
en que la conocimos, prácticamente ha sido eliminado de los planes de
enseñanza. Así puede ocurrir que un penoso político que ejerce en Navarra —tratando de mostrar lo inconveniente de que
la enseñanza se imparta en euskera— pueda espetar la aguda observación de que en tal lengua ni
siquiera existen palabras autóctonas para expresar conceptos como “geometría”;
“hipotenusa”; o “cateto”.
Es sabido que los matemáticos profesionales
hace mucho que dejaron de interesarse por objetos tan triviales como triángulos y cosas
parecidas, abandonando la exploración de esos
territorios a los simples aficionados... que desde hace dos siglos no
hacen sino descubrir teoremas que curiosamente permanecían oficialmente
ignorados. Si tiene, estimado amigo, la fortuna de descubrir o formular un
teorema sobre Geometría clásica, que no aparece en los manuales oficiales, no
se preocupe. Es perfectamente posible que sea realmente nuevo y pueda poner al
final el clásico QED (“quod erat
demostrandum”). Y es igualmente posible que ya lo descubriera un
respetable médico rural de Baviera,
aficionado a las Matemáticas, en 1737 o en 1909.
DIVISIÓN
EN TRIÁNGULOS ISÓSCELES.
Hace poco tuve en mis manos un encantador manual francés de Geometría elemental de finales del siglo XIX, con cuya lectura disfruté no poco. Entre los problemas propuestos me llamó la atención uno aparentemente trivial pero que me hizo pensar. Venía a decir: dibuje el alumno un triángulo isósceles que pueda dividirse en otros dos triángulos isósceles. Evidentemente el problema era sencillo, pero me llevó a plantearme el problema de forma algo más general. ¿Existiría un método para dividir un triángulo cualquiera en dos triángulos isósceles?
Lo
primero que constaté fue que no siempre parecía
posible dividir un triángulo de cualquier clase en dos triángulos isósceles, y ello me invitó
a indagar las condiciones de existencia de tal división.
Para
definir tales condiciones basta una serie de sencillos razonamientos sobre las
tres únicas formas en que, aparentemente,
parece posible dividir un triángulo en dos isósceles, o alternativamente
en las tres únicas posiciones en que dos triángulos isósceles que comparten un
lado pueden acoplarse formando una figura triangular. Se plantean una serie de
ecuaciones lineales, que al limitarse a valores positivos, ofrecen unas
soluciones que, en resumen, dicen que la
división de un triángulo
cualquiera en dos isósceles solo será
posible si se cumple en el triángulo base
una al menos de las siguientes sencillas condiciones:
a) El triángulo a dividir es rectángulo.
b) Existe al menos una pareja de ángulos uno
de los cuales es doble del otro
c) Existe al menos una pareja de ángulos uno
de los cuales es triple del otro
(En el caso especial de que el triángulo base sea también isósceles, como pedía el ejercicio citado, existen cuatro posibles combinaciones de ángulos que cumplen las condiciones señaladas, y que por tanto serán divisibles en dos triángulos también isósceles, cuyo cálculo dejaremos al lector.)
En
definitiva, parece que si no se cumple alguna de las tres condiciones
señaladas no es posible la división de
un triángulo de la clase que sea en dos triángulos isósceles. Yo al menos hasta
aquí he llegado. Llama la atención que las condiciones sean tan simples. Me parece absolutamente
inverosímil que algo tan obvio no se haya tratado antes. ¿Alguien sabe algo de
esto?
Por
cierto: ¿será así de sencillo?; ¿no
habrá otros casos distintos a los tres señalados en que la división sea
posible?; ¿existe algún triángulo que admita más de una descomposición en dos
triángulos isósceles; o la división es unívoca?
ACOPLANDO
TRIÁNGULOS
Si
en determinadas condiciones es posible
dividir un triángulo en dos triángulos isósceles, también será cierto que, en
determinados casos, dos triángulos
isósceles podrán acoplarse para formar una figura
triangular, sea o no isósceles.
Es
claro que para que dos triángulos puedan
acoplarse será preciso que tengan al
menos un lado de igual longitud, y que sus ángulos tengan valores apropiados.
No es difícil encontrar estas relaciones, lo que dejamos al lector, pero lo
interesante es destacar que cualquier triángulo isósceles tiene tres
triángulos isósceles asociados, es decir tres congéneres cuyo acoplamiento origina una figura triangular, no necesariamente isósceles. Esto
quiere decir que existen conjuntos de cuatro triángulos isósceles asociados entre
sí por medio del que podría llamarse “elemento común del conjunto”. O lo
que es lo mismo, que existen conjuntos de tres triángulos divisibles en dos
isósceles que tienen un, llamémosle así, “divisor común”, que es
isósceles.
Por
supuesto podríamos preguntarnos por la división de triángulos en tres o en
cuatro, o en n triángulos isósceles. ¿Alguien tiene la paciencia de determinar las condiciones para que un
triángulo pueda dividirse en n triángulos isósceles? Una pista: dado un
número n finito, existe al menos
un triángulo que permite su división en n triángulos isósceles. Es una
consecuencia evidente de que, a través de acoplar sucesivamente triángulos
isósceles, podemos construir un triángulo - no necesariamente isósceles -
formado por la “soldadura” de tantos triángulos isósceles como queramos.
El triángulo así formado será naturalmente divisible en n triángulos
isósceles.
Doy por supuesto que todo esto es conocidísimo
desde hace siglos, si no milenios, y el
que yo no lo haya leído no significa otra cosa sino que me queda
aún mucho que leer. Tampoco tengo la menor idea de si estas
consideraciones carecen del menor
interés, que es lo más probable, o si pudiesen ser piezas de alguna
teoría significativa sobre grupos de triángulos o de ángulos, o de números, ya
que no olvidemos que, en definitiva los triángulos son equivalentes a ternas de números (lados o ángulos) que
cumplen ciertas restricciones. Una terna números positivos tal que uno de lo
números sea igual a la suma de los otros dos será equivalente a un triángulo
rectángulo. Las ternas tales que tengan, al menos, una pareja en la que uno de
los números sea doble o triple del otro, representan los otros dos casos de
triángulos divisibles en dos isósceles.