UNA SIMPLE LÍNEA

(No entre aquí quien no sepa geometría)

Sabido es que para la demostración de teoremas geométricos la mayoría de las veces debemos servirnos de líneas auxiliares que nos permitan razonar y llegar a la demostración deseada.

Vamos a exponer aquí un par de teoremas cuya demostración se consigue trazando una simple e inocente recta.

Uno de ellos es el Teorema de Ptolomeo cuyo enunciado dice: Dado un cuadrilátero cíclico ABCD, el producto de las diagonales es igual a la suma del producto de los lados opuestos:

AC x BD = AB x CD + BC x DA.

Roger Penrose, el matemático creador de la teoría de los "twistors", cuenta que, en una ocasión, tuvo que echar mano de este teorema pero antes decidió demostrarlo. Para su sorpresa la prueba le resultó mucho más ardua de lo que había supuesto, por lo que finalmente decidió consultar la demostración del propio Ptolomeo.

A Ptolomeo se le ocurrió trazar la recta auxiliar BE, de tal forma que el ángulo ABE sea igual al DBC con lo que el triángulo ABE resulta semejante al BDC.

La demostración siguiente se consigue gracias al trazado de la recta auxiliar AP, paralela a B'CA'.

Si sobre los tres lados de un triángulo cualquiera ABC, en el que el ángulo en C mide 60º, se construyen sendos triángulos equiláteros ABC', ACB', y BCA', la suma de las áreas ABC y ABC' es igual a la suma de las áreas B'AC y A'BC.

Gracias a la línea auxiliar, se demuestra que los triángulos ABC, PAC' y PCA' son iguales, lo que abre el camino para la demostración.

¿Cómo dar con la línea auxiliar entre las muchas que podrían trazarse? Cuestión, supongo, de intuición y "oficio" geométrico.

Aristogeronte.

Abril 2001.