Los problemas de FERMAT y Steiner

En cierta ocasión Fermat, "príncipe de los aficionados" retó a Torricelli, discípulo del gran Galileo, con el siguiente problema.

Dadas tres ciudades representadas por los puntos A, B y C unirlas por una red de carreteras de forma que sea de longitud mínima. El punto P del que parte la red mínima hacia A, B y C, es conocido como Punto de Fermat.

Ignoro la solución de Torricelli a este problema. La que da Conway en su libro You are a mathematician, es complicada, pero la del carrollista Paco Ayuso es de tal elegancia y sencillez que no me resisto a exponerla.

Los ángulos del triángulo ABC deben ser inferiores a 180º.

Ayuso empieza suponiendo que M es el punto solución, es decir MA + MB + MC = mínimo.

Luego intenta poner los tres citados segmentos uno a continuación de otro y para ello se le ocurre, ¡feliz idea! construir el triángulo equilátero MM'C y el triángulo CM'A' igual al CMB. Se ve que A' es el vértice del triángulo equilátero CBA' y, por consiguiente es un punto fijo.

Partimos de la hipótesis que MA +MB + MC = MA + MM' + M'A' = mínimo, para ello estos tres últimos segmentos, que unen dos puntos fijos A y A', deberán estar en línea recta. Es decir, el punto M debe estar sobre la recta AA'.

Por un razonamiento análogo el punto M deberá estar sobre la recta BB', luego M se confunde con P cruce de AA' y BB' que es precisamente el Punto de Fermat. Tendremos pues que PA + PB + PC = AA' = BB' = CC' = mínimo.

El teorema de Steiner (matemático suizo, 1796-1863) es análogo al de Fermat pero ahora son cuatro las ciudades A, B, C y D, a unir por una red mínima de carreteras.

También Francisco Ayu-so da una elegante demostración de este segundo problema, que omito en aras de la brevedad, exponiendo simplemente la figura que muestra cómo proceder a la construcción. Los triángulos ABS y CDP son equiláteros, la línea PS corta a las circunferencias circunscritas a dichos triángulos en Q y R; la red mínima está formada por RA + RB + RQ + QC + QD.

En este problema existe siempre otra posible red resultante de construir los triángulos sobre los lados BC y DA. Entre las dos habrá que escoger la más corta.

Aristogeronte. Madrid. Febrero 2001