EL
PROBLEMA DE FERMAT-TORRICELLI
En el siglo XVII Fermat
propuso a Torricelli este problema: Dados los vértices A, B, C de un triángulo,
hallar el punto P del plano que minimice la suma de sus distancias a aquéllos.
Si el triángulo ABC no tiene
ningún ángulo mayor de 120º puede demostrarse que el punto P buscado ve los
vértices bajo ángulos de 120º. ¿Cuánto valen estas distancias? ¿Cuánto su suma?
|
|
Sean a, b, c, los lados del
triángulo, y llamemos x, y, z a las distancias PA, PB, PC. Recordemos el
teorema del coseno de un triángulo:
Aplicado a cada uno de los
triángulos PAB, PBC y PCA, y recordando que cos 120º = -½,
se tiene:
(1)
(2)
(3)
Sumando:
Que podemos escribir:
Recordemos ahora la fórmula
que da el área de un triángulo en función de dos lados y el ángulo comprendido:
Y apliquémosla de nuevo a os
tres triángulos anteriores, recordando que 
. Si llamamos S al área del triángulo total se obtiene:
De donde
La última raíz cuadrada
representa el área del triángulo total según la fórmula de Herón, donde p es el
semiperímetro del triángulo. Con los datos anteriores es ya posible obtener una
expresión de la longitud pedida en función de a, b y c. Haciendo
(4)
resulta finalmente:
Mediante parecidos
artificios podemos calcular cada una de las tres longitudes individualmente.
Así, restando las igualdades (1), (2) y (3) dos a dos tenemos:
De donde podemos despejar
las tres ternas y-x, z-y, x-z, que forman un sistema indeterminado (su suma es
cero), pero que unidas a la (4) permiten despejar cada una de las tres
longitudes:
