UNA NUEVA PROPIEDAD DEL NÚMERO ÁUREO
En los libros de geometría
de bachillerato es frecuente el siguiente problema: hallar un triángulo
rectángulo cuyos lados estén en progresión aritmética. El planteamiento conduce
fácilmente al famoso triángulo de lados 3, 4, 5 o a todos sus semejantes, entre los que podemos
tomar, por facilidad de comparación, el de hipotenusa igual a la unidad, con lo
que los catetos son el coseno y el seno de uno de los ángulos agudos. Los lados
del triángulo resultan ser (0,6; 0,8; 1) y ángulo agudo menor B = 36,87º.
Siempre me sorprendió que no se plantee el obvio correlato: hallar el triángulo rectángulo cuyos lados estén en progresión geométrica. Unas fáciles ecuaciones conducen a que, para la hipotenusa unidad, los catetos valen 1/Öf y 1/f respectivamente, siendo f el conocido número áureo, o sea f = (1+Ö5)/2 = 1,618...
El
triángulo es el de lados (0,618; 0,786; 1), y el ángulo agudo vale 38,18º.
COMPLEMENTO.
Podríamos preguntarnos por el triángulo rectángulo cuyos lados están en
progresión armónica. Cálculos no muy difíciles conducen est vez a una ecuación
de cuarto grado, cuya solución es el triángulo de lados (0,632; 0,775; 1), y el
ángulo, B = 39,22º.
Barcelona,
noviembre 1999