El humilde heptágono

Muchas estupendas propiedades matemáticas relativas a los primeros dígitos se desvanecen al llegar al fastidioso 7. Las reglas de divisibilidad por 2, 3, 4, 5 y 6 son conocidas y fáciles de aplicar, pero la de 7 es tan complicada que es mejor hacer la división. De análoga manera, la construcción geométrica de los polígonos de hasta 6 lados es factible y elegante, pero, ¡ay, pobre 7! Como está demostrado desde hace tanto tiempo que el heptágono no puede construirse con regla y compás, tendemos a saltárnoslo en nuestros estudios geométricos; a fin de cuentas, el octógono vuelve a ser rico en todo tipo de propiedades.

Es curioso que todo lo que las matemáticas niegan al 7 se lo otorga el esoterismo y la mística, dando a este número un simbolismo superior al de cualquier otro. Siete eran los dioses principales, los metales, los planetas, los mares, los días de la semana, los Infantes de Lara. El 7 es citado abundantemente en todos los textos de no importa cualquier religión: hay siete sacramentos, siete obras de misericordia, siete son los brazos del candelabro del Arca de la Alianza, siete las virtudes hindúes principales y siete las cabezas del gigante vencido por Krishna.

Vamos a dar algunas notas geométricas respecto al 7. En realidad, para construir el heptágono inscrito en una circunferencia se utiliza desde siempre una regla bien sencilla: tómese como su lado la mitad del lado del triángulo equilátero.

Siendo el lado del heptágono para un radio unidad:

Mientras que la mitad del lado del triángulo equilátero es:

Veamos la construcción clásica:

(cortesía de www.dibujotecnico.com)

    Comenzaremos trazando una diagonal de la circunferencia dada de centro O, que nos determinará sobre ésta los puntos A y B. A continuación, con centro en A, trazaremos el arco de radio A-O, que nos determinará, sobre la circunferencia, los puntos 1 y C. Uniendo ambos obtendremos el segmento 1C, lado del triángulo equilátero, cuyo punto medio nos determina el lado del heptágono, 1D.

El error es de un 3 %, suficiente para las construcciones gráficas usuales.

Pero existen procedimientos más “exactos”. Quizás el más notable sea el ideado en 1683 por Fray Ignacio Muñoz , Maestro en Teología, de la Orden de Predicadores, Catedrático propietario de Matemáticas de la Real Universidad del Imperio Mexicano. Dicho autor lo tituló, un tanto pomposamente, “Sexto postulado de Euclides”.

En términos actuales, el procedimiento pretendía, mediante una serie de hábiles (y enrevesadas) construcciones geométricas, dibujar con regla y compás el heptágono. El ardid se basaba en la construcción previa de un triángulo isósceles de lados proporcionales a 4, 4 y 9, que, inscrito en un círculo, tendría su base igual al lado del heptágono (ver figura). Esto equivalía a suponer que el coseno de 3π/7 fuera igual a 2/9 = 0,22222222…, o sea racional. En realidad, el valor exacto es 0,222520934…, con un error del 3/10.000, sin duda una buena aproximación.

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Hemos hablado antes del esoterismo. ¿Quién no ha oído hablar de la famosa pirámide de Khufu (más conocida como Keops o Cheops), en cuyas medidas se pretende haber hallado nada menos que las dimensiones del universo o la carga del electrón? Lo curioso es que estas medidas no se conocen con exactitud, pues la pirámide se halla desmochada y por tanto su altura, cercana a los 147 m, no se sabe cuál pudo haber sido exactamente en sus buenos tiempos.

En lo que sigue nos ceñiremos al excelente trabajo de José Antonio de Echagüe Ensayo sobre los números áureos y las sucesiones de tipo Fibonacci. También las figuras son del mismo autor.

Ya el mismo Herodoto estatuyó que la pirámide cumplía con la ecuación:

Es decir, que en la sección meridana de la pirámide, el cateto largo (altura, h) es media proporcional entre el corto (apotema de la base cuadrada, igual al semilado, b) y la hipotenusa (altura del triángulo que forma la cara lateral, x). Esto lleva inmediatamente a la relación:

Siendo , el llamado “número áureo”, bien conocido por los antiguos. Es decir, que la semibase es la sección áurea de x.

Obsérvese que con este número se cumple una curiosa coincidencia geométrica:

Lo cual es una buena aproximación de π, que ha dado pie a otras interpretaciones esotéricas de la pirámide. Unas cuantas manipulaciones algebraicas llevan a concluir que el área del cuadrado que forma la base de la pirámide es aproximadamente igual al de un círculo cuyo radio fuese la media geométrica del semilado y la altura de la pirámide.

De paso, y aquí empezamos a enlazar con el heptágono, hay que observar que el ángulo de la pirámide vale:

= 51º 49’ 12” ≈2π/7 radianes

Es decir, el ángulo de la base es, muy aproximadamente, el doble del ángulo central del heptágono regular (éste vale, obviamente, 360/7 = 51º 25’ 43”).

Vamos a llamar “triángulo áureo” al de la sección meridiana de la pirámide, es decir, el AOG. Si lo inscribimos en un círculo, pronto hallaremos que el radio de éste vale:

Tomemos hora el arco AG, partámoslo por la mitad y llevemos la cuerda correspondiente en ambos sentidos desde F y desde G. Nos resulta la figura:

¡Ya tenemos el heptágono regular! Aproximadamente, claro. La figura resultante es, como nos recuerda Echagüe, “el famoso septenario o Hexagrama, o estrella de siete puntas, figura mágica y hermética como el Pentagrama (con el que está relacionado incluso matemáticamente), con fuerte significado cabalístico y hermético, y base de la Geometría Hermética. Como es claro, el Septenario o Heptagrama deriva de la pirámide y la determina, cosa que saben muy bien desde antiguo los criptófilos y hermetistas, y no se recatan en señalarlo en sus tratados, mezclándolo frecuentemente con teorías fantásticas. Resulta sin embargo curioso que sistemáticamente se haya ocultado su carácter áureo”.

Ya que estamos en el heptágono, acabemos con otro pariente pobre, el eneágono. He aquí un método constructivo, naturalmente aproximado:

(cortesía de www.dibujotecnico.com)

Dada la circunferencia y sus diámetros perpendiculares AB y CD, trácese con centro en A el arco AD = OA. Luego, con centro en B, trácese el arco BD hasta que corte al diámetro OC en OE. Finalmente, con abertura BE y centro E, trácese el arco AFB. El segmento F1 es el lado del eneágono aproximado.

La construcción es innecesariamente complicada. Obsérvese que, para radio unidad, OE = √2, es decir, se podía haber obtenido simplemente tomando BC. Pero además consigue una aproximación muy pobre para la cantidad de arcos trazados. Consigue asimilar el lado del eneágono (para un radio unidad) a 1 + √2 - √3 = 0,68216275…, que frente al valor exacto, 2 sin 20º = 0,68404029… supone un error de un 3 o/oo. Pero, desarrollando este valor por reducidas, una aproximación bastante buena y muy sencilla es 13/19 = 0,68421053…, cuya adopción para el lado del eneágono supone un error de un 2,5 oo/oo.

Y por hoy ya basta de marear al pobre heptágono y sus familiares. Seguirá…

JMAiO, Torredembarra, jul 05