Balón de fútbol

Hacia la esfera perfecta

 

Aficionados o no al fútbol, todos hemos reparado en los dibujos que en la trayectoria de un balón fuertemente chutado dibujan sus partes oscuras: curvas veloces que prenden en el espacio una breve fracción de segundo y desaparecen para siempre.

Pero el impacto visual permanece. Y su recuerdo puede inducirnos a observar atentamente la geometría del balón. Una mera ojeada a su superficie nos revelará que el entramado poligonal que recordábamos vagamente es en realidad una red de pentágonos y hexágonos, imbricados de modo que cada uno de los primeros esté rodeado por cinco de los segundos. Y si tenemos la paciencia de contarlos todos, constataremos que su número es de doce y veinte, respectivamente.

Los que ya peinen alguna cana recordarán también el modelo antiguo de balón de fútbol, hecho de seis tiras de cuero cosidas entre sí, y quizá se pregunten el porqué de la actual moda. Se sorprenderán al saber que el esférico que presidirá el Mundial ’82 no es más que un paso de un camino iniciado hace, por lo menos, 2.500 años. Sócrates, en su diálogo Fe­dón, se refiere así al aspecto de la Tierra vista desde el espacio exterior: «colorea­da como las pelotas hechas de doce trozos de fieltro».

¿De qué modo se combinaban entre sí esos doce pedazos de cuero? La res­puesta no es difícil cuando sabemos que los griegos conocían ya la existencia de los cinco poliedros regulares, los únicos cuerpos geométricos que se pueden construir utilizando sólo como caras polí­gonos regulares iguales entre sí, y dis­puestos siempre del mismo modo. Pero su belleza ya era conocida y aprecia­da mucho antes, como testimonia un juguete en forma de dodecaedro hallado en una tumba etrusca del Monte Loffa, cerca de Padua, fechada en 3.000 años antes de Cristo.

Los cinco poliedros son llamados tam­bién sólidos platónicos, al ser nombrados explícitamente en un diálogo de Platón cuyo personaje central, Timeo, llega in­cluso a asociarlos con los cuatro elemen­tos que según las ideas de la época formaban el Universo. El agua, el aire, la tierra y el fuego eran simbolizados, res­pectivamente, por el icosaedro, el octae­dro, el cubo y el tetraedro. Y como faltaba un elemento, el dodecaedro se conside­raba como símbolo del Universo todo.

Otra vez el dodecaedro. Este símbolo eterno, el más misterioso y bello de los poliedros regulares, era también el cuer­po adoptado por los protofutbolistas helé­nicos como más aproximado a una esfe­ra. Las ventajas de su uso para balón eran evidentes: las doce piezas pentago­nales son idénticas, lo que simplifica el proceso de elaboración y hace que su ensamblado carezca de error posible. Basta coser las respectivas aristas, una con otra. Cerrado el cuerpo, salvo por una ventana, se rellenaría con trapos para darle forma totalmente esférica, se com­pletaría el cosido y... a jugar se ha dicho.

Por cierto que la preferencia de los helenos por el dodecaedro hace nacer una duda en los aficionados a los cinco sólidos platónicos. Pues el icosaedro, aun teniendo el inconveniente de su ma­yor número de caras (contrarrestado, eso sí, por la mayor sencillez de éstas), pare­ce como más redondeado. ¿No hubiera sido mejor la construcción de balones icosaédricos?

El cálculo desmiente pronto esta intui­ción. El porcentaje de volumen ocupado por el dodecaedro respecto a su esfera circunscrita (es decir, la que centrada con él pasa por todos sus vértices) es del 66,49 %; mientras que la cifra correspondiente al icosaedro es sólo del 60,55 %. Tenían, pues, razón los contemporáneos de Sócrates.

Pero los tiempos cambian. Y si el ico­saedro pierde la competición como can­didato a la mejor pelota de fútbol, es capaz de producir un hijo suyo cuya utili­dad es hoy reconocida. Si efectuamos apuntaduras en los vértices de un icosae­dro, aparecerán en ellos sendos pentá­gonos, los triángulos iniciales se converti­rán en hexágonos y la figura ganará en grado de redondeo. Si llevamos a cabo con tino el apuntamiento podremos con­seguir que tanto los pentágonos como los hexágonos sean regulares, obteniendo así el icosaedro truncado semirregular que, con una posterior presión interna —conseguida esta vez con aire en vez de

trapos apretados—, se convertirá en nuestro balón de fútbol.

Las ventajas del nuevo cuerpo frente al dodecaedro son evidentes: su mayor re­dondez se traduce numéricamente en un porcentaje de ocupación del 86,74 % de la esfera circunscrita. Por contra, tiene el inconveniente de su mayor número de caras —32— y de que éstas sean de dos tipos distintos, pentágonos y hexágonos.

Por cierto, que la contemplación del hexágono induce a formar poliedros re­gulares. Pero tales intentos se saldan en fracaso cuando se advierte que con he­xágonos solamente se puede cubrir un plano pero, por la misma causa, jamás se logrará cerrar un volumen. Los mosaicos que cubren el Paseo de Gracia barcelo­nés son una buena muestra de ello. El biólogo D'Arcy Wentworth Thompson cuenta la anécdota de un colega que sostenía haber visto el caparazón de un erizo de mar, esférico, formado por esca­mas hexagonales perfectas.

—No puede ser —objetó D'Arcy—, el matemático Euler demostró hace tiempo que es imposible la construcción de un poliedro de esta especie.

—Pues entonces —replicó el colega— eso demuestra la superioridad de Dios sobre las matemáticas.

Sería muy dudoso que Dios contradijera las leyes de la lógica, que son su propia obra. En realidad, si observamos atentamente un dibujo de la Aulonia hexagon al cual se refería el entusiasta amigo de D'Arcy, comprobaremos que siempre hay alguna cara de menos (o más) de seis lados. ¿Cuántas debería haber como mínimo? Un curioso teorema geométrico nada difícil de probar, sostiene que todo poliedro formado por hexágonos y pentágonos debe contener precisamente doce de éstos, independientemente del número de hexágonos con que cuente. Obviamente, sendos casos particulares de ese hipotético poliedro son el dodecaedro regular, con cero hexágonos, y nuestro moderno balón de fútbol, con veinte. Ocurre lo mismo con el icosaedro trun­cado, que pertenece a la familia de los poliedros semirregulares: menos conoci­dos que los sólidos platónicos pero, en algunos aspectos, más bellos incluso. Pitágoras describió once de los trece cuerpos existentes de esta clase. Todos ellos tienen sus caras formadas por polí­gonos regulares de dos o tres clases distintas, todos iguales entre sí respecti­vamente y dispuestos del mismo modo en cada vértice. Desde el sencillo tetrae­dro truncado, con sólo ocho caras, al gran rombicosidodecaedro, con 72, todos son un prodigio de armonía geométrica. Por cierto, que el estudio de estos cuerpos nos permite aventurar cuál será el siguiente modelo de balón, más perfec­cionado. No cabe duda de que el candi­dato con más posibilidades es el rombi­cosidodecaedro, formado por veinte triángulos, treinta cuadrados y doce pen­tágonos. Este cuerpo —que se forma truncando las aristas y vértices de nues­tro eterno dodecaedro— une al tamaño más o menos igualado de sus caras la propiedad de la máxima compacidad ob­tenible: un 94,33 % del volumen de la esfera circunscrita. Claro que este ocho por cien adicional sobre el icosaedro trun­cado se consigue a costa de casi duplicar el número de caras de éste e introducir, además, una tercera variedad de polígo­nos. Pero quizás veamos el modelo en los mundiales del 86. ¿Quién se anima a presentar un prototipo?

 

José M. Albaigès

 

(Artículo publicado en MUY INTERESANTE, no 13, junio 1982)

 

N. del A: Todavía el rombicosidodecaedro espera su oportunidad futbolística.