SOBRE EMPAQUETAMIENTO DE ESFERAS (I)

 

            Las familiares fórmulas S = πr2, V = (4/3) πr3, expresivas del área de una circunferencia y del volumen de una esfera, respectivamente, nos dan pie para suponer que el hipervolumen de una hiperesfera de n dimensiones será:

 

                                                            Vn = knrn

 

                Siendo kn un coeficiente ad hoc. El cálculo de ese hipervolumen es un entretenido ejercicio matemático, que puede resolverse recordando que el volumen de una esfera tridimensional es la integral de las secciones circulares producidas por planos paralelos, es decir:

 

            Siendo x2 + z2 = r2. Análogamente, seccionando la hiperesfera de orden n en hiperesferas de orden n-1 mediante planos, y haciendo para simplificar r = 1, fácilmente se halla que

 

 

 

            Esta integral, en cuyo detalle de cálculo no vamos a entrar, da el resultado final:

 

 

 

Donde Γ(p) es a función gamma, o factorial generalizado. Recordemos que en ella, para p entero, se define:

 

 

                                                                Γ (p) = (p-1)!

 

                Mientras que para p no entero, siendo m su mantisa:

 

                                                Γ (p) = (p-1)(p-2)....(1+m) Γ (m)

 

                Γ (m), para 0< m <1, debe ser calculado acudiendo a procedimientos avanzados del análisis. En particular, Γ (1/2) = √π = 1,77.

                La fórmula anterior permite hallar, por vía recurrente, la expresión general de kn:

 

 

 

                Así, por ejemplo, k4 = π2/6; k5 = 8π2/15, etc.

 

            Vamos a hora a formularnos una interesante pregunta. Observemos que la esfera de segunda dimensión (círculo) ocupa una porción de área de su cuadrado circunscrito igual a  π /4 = 0,785. En la esfera de tercer orden esta proporción respecto al cubo circunscrito disminuye, pues pasa a ser π/6 = 0,524. En general, para el grado enésimo, la proporción de hipervolumen de hipercubo circunscrito ocupado por la hiperesfera vale:

 

               

Veamos la evolución de los valores de kn y de sn para distintas dimensiones:

 

 

                        DIMENSIÓN              kn                     sn

 

                                                1                      2                      1

                                    2                      3,1416             0,7854

                                    3                      4,1888             0,5236

                                    4                      4,9348             0,3084

                                    5                      5,2638             0,1645

                                    6                      5,1677             8,07*10-2

                                                7                      4,7248             3,69*10-2

                                                8                      4,0587             1,50*10-2

                                                9                      3,2985             6,44*10-3

                                                10                    2,5502             2,49*10-3

                                                11                    1,8841             9,20*10-4

                                                12                    1,3353             3,26*10-4

                                                13                    0,9106             1,11*10-4

                                                14                    0,5993             3,66*10-5

15                    0,3814             1,16*10-5

                                                16                    0,2353             3,59*10-6

                                                17                    0,1410             1,08*10-6

                                                18                    0,0821             3,13*10-7

                                                19                    0,0466             8,89*10-8

                                                20                    0,0258             2,46*10-8

 

                Salta a la vista que la porción de espacio ocupada por las hiperesferas disminuye rápidamente, sin dejar de permanecer cada una de éstas tangente, según una malla multirrectangular, a otras 2n hiperesferas contiguas. Extrapolando más el cálculo, llegaríamos a la conclusión de que, en un espacio de 45 dimensiones, el grado de compacidad es 10-24, es decir, igual al de nuestro universo tridimensional, tan vacío el pobre.

 

            La explicación es que los "huecos" entre las esferas van siendo cada vez pavorosamente mayores. Observemos, por ejemplo, que en la malla bidimensional quedan unos cuadrados curvilíneos entre cada grupo de cuatro circunferencias, en cada uno de los cuales sería posible inscribir una nueva circunferencia más reducida, de radio igual a Ö2-1 = 0,414 el de las originarias. En un espacio de tres dimensiones las esferitas inscribibles en el "hueco" tendrían ya un radio de Ö3-1 = 0,713. Pero en un espacio cuatridimensional ya no hay "hiperesferitas": el hueco permite la cabida de una nueva hiperesfera de radio igual a las de la malla. Superiores dimensiones permiten alojamientos cada vez más generosos de nuevas hiperesferas, conque éstas tienen cabida en gran abundancia y según modelos no fácilmente concebibles.

            Y con esto llegamos al planteamiento general del problema: ¿Cómo empaquetar esferas de la forma más eficaz posible en un espacio de n dimensiones? pero la respuesta deberá esperar a otro número de [C].

 

 

                                                                        Josep M. Albaigès

                                                                        Barcelona, enero 1989