Trazado aproximado de una elipse por medio de arcos de circunferencia

(Este artículo, escrito en mi juventud, ha perdido hoy vigencia con los modernos métodos de trazado de curvas con ordenador. Lo ofrezco como curiosidad aplicable al dibujo de la época).

Trazado aproximado de una elipse por medio de arcos de circunferencia

Supóngase que se desea sustituir la elipse de semiejes a, b (a > b) por los arcos de circunferencia de radios R_a, R_b, tangentes a los vértices de la elipse y entre sí. Según la figura se cumplirá:

O sea:

(I)

Elevando al cuadrado, sumando y simplificando el resultado se obtiene:

Igualdad que puede escribirse:

(II)

Los valores buscados se hallan sobre la hipérbola equilátera de asíntotas R_a = b; R_b = a, y parámetro √K = (a – b)/√2.

Los valores R_a, R_b más favorables serán, lógicamente, los que proporcionen un ajuste mejor con la elipse. Aunque para fijar el grado de este ajuste pueden adoptarse distintos criterios, parece uno de los más sencillos el hacer que el punto de tangencia entre los dos arcos de circunferencia pertenezca a la elipse.

De acuerdo con los valores (I) se tiene:

De donde:

Al sustituir los valores precedentes en la ecuación de la elipse se obtiene finalmente:

(III)

Expresión notable de la que se concluye inmediatamente que los centros de las circunferencias buscadas y el punto A se hallan alineados.

Los radios vienen determinados por la intersección de las dos hipérbolas equiláteras (II) y (III), o, más sencillamente, por una de ellas y la recta

resultado de restar sus ecuaciones.

La resolución analítica de este sistema proporciona las soluciones:

Para la resolución geométrica del problema, convendrá obtener previamente las igualdades:

y haciendo , se tiene:

Esta igualdad justifica la siguiente construcción: dado el rectángulo circunscrito a la elipse, trácense las rectas AC y BC, que forman 45º con los ejes. Desde la intersección C bájese la perpendicular CD al eje mayor, y con radio CD dibújese una circunferencia, a la que se trazará la tangente AE. Los puntos P y Q, intersecciones de dicha tangente con los ejes de la elipse, definen los centros de los arcos de circunferencia buscados.

Obsérvese que el uso del cartabón simplifica mucho el dibujo.

En las hojas siguientes se han construido por este método las elipses cuyas relaciones de ejes b/a valen 0,1; 0,2;…0,9. El ajuste con la elipse verdadera, dibujada también en la misma figura, es aceptable, sobre todo en las de excentricidad baja.