ECONOMIZANDO TIEMPO AL PASAR LA CALLE
Ian
McGregor debe atravesar la calle aprovechando el cruce semafórico AB, operación
en la que invierte 10 segundos. Para ello debe esperar un momento en que no
haya tráfico y pasar rápidamente, pues en cualquier momento puede aparecer un
coche por el punto Z, que invierte 10 segundos hasta llegar al cruce AB.
Atravesada la calle, McGregor continuará andando hacia la derecha.
Pero,
llegado al punto A’ y sin moros en la costa, el astuto escocés piensa que puede
ahorrarse unos pasos con la trayectoria oblicua A’B’, escogida de forma que la
longitud A’B’ = 10 para continuar a cubierto de atropellos. Lo hace, pero ya en
A”, nuevamente sin coches al a vista, inclina nuevamente la trayectoria según
A”B”.
Su
amigo el matemático Belgasay le hace notar que esta deriva oblicua podría ser
adoptada desde el primer momento, ahorrando el máximo de pasos. ¿Cuál es la
curva que seguiría en este caso McGregor? Si el vehículo aparece finalmente cuando
McGregor ha atravesado por ese sistema la mitad de la calle, ¿cuál será el
trayecto ahorrado?
(Nota:
Supóngase invariable el tiempo de 10 segundos para la llegada del coche.)
Josep
M. Albaigès
Torredembarra,
julio 04
SOLUCIÓN A “ECONOMIZANDO TIEMPO AL PASAR
LA CALLE”
La trayectoria
de McGregor deberá ser una tractriz, curva que se define de forma que el
segmento de tangente PQ sea constante, igual naturalmente a AB. Es también la
curva descrita por el punto extremo P de una cuerda tirante PQ de longitud a, a medida que el otro extremo Q se
mueve a lo largo del eje de las X
Si
es a el ancho de la calle, la
ecuación paramétrica de la tractriz es:
La
curva tractriz desempeña un importante papel en la geometría de Lobachevski. El
cuerpo de revolución engendrado al girar alrededor de AB es la llamada pseudoesfera, cuyo volumen es
igual a la mitad de la esfera de radio a.
La longitud
de un arco de tractriz vale s = -a log
(y/a). Por tanto, si es a’ el
ancho de la porción de la calle atravesada, el camino recorrido finalmente es L = -a
ln(a’/a) + a = -10×ln(5/10) + 10 = 16,93 m.
La
abscisa del punto P puede obtenerse por la ecuación directa de la curva:
m
A
este valor hay que adicionar el ancho de la calle y el último trozo recorrido,
o sea 20 m en total.
Por
tanto, el ahorro vale:
A =
10 + 10 + 7,37 – 16,93 = 10,44 m
JMAiO,
Torredembarra, jul 04