LOS DIAGRAMAS "LOOK-SEE"

En [C-47] Mariano Nieto ofreció en su artículo ¡MIRA! algunos ejemplos de demostraciones inmediatas gracias a la hábil elección de un gráfico ingenioso. Nuestro gran maestro Martin Gardner había tocado antes de forma insuperable el tema en SCIENTIFIC AMERICAN (oct 1973). Voy a dar un pequeño resumen de su artículo "Look-see" (mira y ve).

La conocida fórmula que da la suma de los primeros n enteros,

S₁ = n(n+1)/2

se remonta a los griegos. Es inmediata observando la fig. 1, en cuya parte derecha se duplican los puntos de la izquierda.

Igual de inmediata es la figura 2, que muestra que la suma de los primeros n enteros impares es n².

Menos intuitiva es la suma de los n primeros cuadrados:

S₂ = n(n+1)(2n+1)/6

Pero si, para el caso n=5, construimos la figura 4, veremos que en el "rascacielos" formado por circulitos hay una línea de nueve, dos de siete, tres de cinco, cuatro de tres y cinco de uno. Esto equivale a la suma de los primeros cinco cuadrados (1+3+5+7+9=52; 1+3+5+7=42; etc.).

Situando ahora a los lados otros dos grupos de cuadrados de lados 1, 2, 3, 4, y 5, acabamos formando un rectángulo de altura igual a la suma de los primeros n enteros, o sea S = n(n+1)/2. Como el ancho del rectángulo es 2n+1, y éste contiene tres veces la suma de los cinco primeros cuadrados, fácilmente obtenemos la fórmula anterior.

¿Qué ocurre ahora con la suma de los n primeros cubos? Vale:

S₃ = [n(n+1)/2]²

O sea, curiosamente, el cuadrado de la suma de los primeros n enteros. Con ayuda de la figura 5, que no es más que la tabla de multiplicar, la comprensión es inmediata: según lo visto en la figura 2, los números en cada tira en forma de L valen n veces un cuadrado, es decir, n³. La suma de estas tiras-cubos es el producto de la suma de los números de los lados superior e izquierdo, como se comprueba desarrollando en producto.

JMAiO, mar 96