SOBRE
ALGUNAS CURVAS DE ANCHO CONSTANTE
Hace pocos días se realizó en la sierra de Collserola, cerca de
Barcelona, el izado de las plantas de la Torre de Comunicaciones, interesante
operación de gran complejidad técnica.
Aparte otros detalles, lo que como matemático retuvo mi atención
de dicha torre es su planta, en forma de triángulo equilátero curvilíneo
formado por arcos de circunferencia.
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Esta curva, descubierta
por el tecnólogo Reuleaux, es el caso más sencillo de las llamadas "curvas
de ancho constante", de las cuales se informa abundantemente en el libro
de Hans Rademacher y Otto Toeplitz NÚMEROS Y FIGURAS (Alianza Editorial, 1970).
Me pregunto si la elección de esta forma obedece al deseo de que la torre
presente siempre el mismo frente contra el viento.
De hecho, es posible construir, a partir de cualquier triángulo,
una curva de ancho constante formada por arcos de circunferencia. El radio de
uno de ellos puede ser arbitrario: los demás vienen fijados en función de la
tangencia de los arcos y la constancia del ancho.
Si es D al ancho de la curva, o sea su diámetro, fácilmente se
deducen las siguientes relaciones:
D = Ra + ra (y
análogas para b y c)
Llamando, como es habitual, p al semiperímetro del triángulo, sin
mucho esfuerzo se deduce que:
Ra = D/2 + (p - a)
ra = D/2 - (p - a)
(Y análogas para b, c)
Según una típica propiedad de las curvas de ancho constante, el
perímetro es siempre igual al de una circunferencia del mismo diámetro, o sea
ãD. Otra cosa ocurre con su área, que, como es fácil concluir, será inferior, y
vale:
Siendo St la del triángulo, calculable con la fórmula de Herón:
Cuando el triángulo es equilátero, es:
(1)
En el caso de Collserola
(curva de Reuleaux), en que D = a, es:
Es fácil ver, de la
fórmula (1), que el área de la curva tiende a la del círculo envolvente, S = πD2/4, tanto más
cuanto mayor es D.
Imaginando valores D < a,
también el área sería inferior, aunque, propiamente hablando, la curva dejaría
de ser de ancho constante (v. figura). Podemos hacernos ahora una curiosa
pregunta: ¿para qué valores de D el área sería nula? Mediante la misma fórmula
(1), es fácil hallar que para
. El radio redondeador es r
= 0,1796.
¿Qué ocurre cuando D = 0?
Se forman en este caso tres arcos circulares internos al triángulo tangentes
entre sí, que forman un interesante triángulo curvilíneo interno, de radios p-a, p-b
y p-c.
Barcelona,
22-06-91