EL CUADRADO REDONDO
En
ingeniería hidroeléctrica es frecuente el uso del “cuadrado redondo”. Llámase
así a una tubería de sección circular por un extremo y cuadrada por el otro,
destinada a conducir el agua desde la tubería de alimentación (sección cuadrada)
hasta la entrada de la turbina (sección circular).
La ejecución de este tipo de tubería se realizará
mediante una superficie reglada, y su detalle variará según el ingeniero.
Normalmente
el área de la sección cuadrada será igual a la circular. Y para este caso se
nos ha ocurrido una pregunta: ¿Cómo variará esta área a lo largo del cuadrado
redondo?
Acometamos
el problema en general. Supóngase que de la sección circular de radio r deseamos pasar a la cuadrada de lado 2a. Las ecuaciones respectivas en coordenadas
polares son:
Si imaginamos una curva de transición de una a otra figura, la ecuación más sencilla será aquélla cuyo radio vector varíe linealmente desde el de la circunferencia hasta el del cuadrado, o sea:
La
expresión que da el área de una curva en polares es 
En el caso presente,
la integración entre 0 y p/4
nos dará la octava parte del área. Conque, finalmente, el área total de la
curva vale:
Operando y simplificando:
Observemos
que el área varía no linealmente sino cuadráticamente entre la del círculo, pr2,
y la del cuadrado, 4a2, y
además aparece un término proporcional al logaritmo de la tangente de 3p/8.
En
el caso presente, las áreas del círculo y del cuadrado deben ser iguales, lo
que proporciona la relación 
, que introducida en la expresión anterior da finalmente el
área de la sección intermedia:
En
la gráfica adjunta puede apreciarse la variación del factor que acompaña a pr2.
Como puede verse, el área es algo inferior a la del círculo, aunque sólo un 2,5
% como máximo.
JMAiO,
abr 2002