Estudios estadísticos de los cuadrados mágicos de 5×5
En 1976 Richard Schroepper realizó la sobrehumana tarea de determinar mediante un ordenador cuántos cuadrados mágicos de 5º orden existen. El número, que había sido estimado en 1938 en unos 13 millones, quedó corto: nada menos que 275.305.224.
Es una ardua tarea clasificarlos (Dudeney la había comparado a dividir las personas entre las que toman rapé y las que no). Pero un conteo arrojó algunas sorpresas. Clasificados según el número de la casilla central, resultó lo siguiente:
|
No. central |
N |
No. central |
N |
|
1 |
4.365.792 |
14 |
15.138.472 |
|
2 |
5.464.716 |
15 |
15.735.272 |
|
3 |
7.659.936 |
16 |
13.376.136 |
|
4 |
7.835.348 |
17 |
13.890.160 |
|
5 |
9.727.224 |
18 |
12.448.644 |
|
6 |
10.403.516 |
19 |
12.067.524 |
|
7 |
12.067.524 |
20 |
10.403.516 |
|
8 |
12.448.644 |
21 |
9.727.224 |
|
9 |
13.890.160 |
22 |
7.835.348 |
|
10 |
13.376.136 |
23 |
7.659.936 |
|
11 |
15.735.272 |
24 |
5.464.716 |
|
12 |
15.138.472 |
25 |
4.365.792 |
|
13 |
19.079.744 |
Total |
275.305.224 |
Que puede verse más exactamente mediante su gráfica:
Este diagrama de barras arroja algunas sorpresas. Desde luego es simétrico, pues dado un cuadrado mágico cualquiera, existirá el cuadrado mágico complementario, formado por los complementos a 26 de cada número. Es también bastante lógico que el número de cuadrados aumente con la cercanía del central al 13, valor también central. Pero es chocante que el crecimiento de N no sea siempre uniforme, pues n(10) > N(9), y N(12) > N(11).
Es particularmente interesante este cuadrado mágico de 5×5:
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1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
|
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
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20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
|
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
|
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
Este cuadrado mágico es panmágico o pandiagonal, pues las diagonales quebradas suman también la constante 65. Pero además, dos casillas cualesquiera simétricas respecto a la central también suman 65. Esto significa que podría llenarse el plano con cuadrados a modo de baldosas, y una porción cualquiera de 5×5 sería también mágica. Veamos el ejemplo, donde han marcado en amarillo algunos posibles cuadrados mágicos:
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1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
|
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
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20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
|
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
|
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
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1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
|
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
|
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
|
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
|
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
|
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
|
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
|
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
|
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
|
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
|
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
|
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
|
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
|
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
|
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
JMAiO, dic 06