CUBOS E HIPERCUBOS MÁGICOS

Tras deleitarse con la pasmosa regularidad de los cuadrados mágicos, es inevitable preguntarse si existen cubos mágicos. Ahí tropezamos con una primera dificultad: ¿cómo definirlos? En puridad hay que ser exigente y pedir que un cubo mágico sea una permutación de los n³ primeros números, dispuestos en filas, columnas y “vigas” de forma

^{que cada posible grupo de tres números situados en línea recta sume igual. Esta suma, obviamente, será:}

En MATEMATICA DILETTEVOLE E CURIOSA, de Italo Ghersi, verdadero "clásico" de esos temas, se afirma que "no existen cubos mágicos de 3×3×3", y siempre me atuve a esta afirmación. Imaginen, pues, mi sorpresa, cuando un día apareció por mi casa D. Ramón Garzón, de Vilches (Jaén), con cuatro cubos "mágicos" de 3×3×3 hallados por él. Posteriormente, un artículo de nuestro sagacísimo matemático Miguel Angel Lerma reproducía los mismos cubos y daba incluso un procedimiento general para hallar los de orden impar. Veamos uno de ellos:

23	3	16	1	17	24	18	22	2
7	14	21	15	19	8	20	9	13
12	25	5	26	6	10	4	11	27

O de 4´4´4:

4	45	29	52	62	19	25	14	63	18	34	15	1	48	32	49
57	24	40	9	7	42	26	55	6	43	27	54	60	21	37	12
53	28	44	5	11	38	22	59	10	39	23	58	56	25	41	8
16	33	17	64	50	31	47	2	51	30	46	3	13	36	20	61

Pero estos cubos no son propiamente mágicos. En realidad, cabría llamarles "semimágicos", pues si bien suman 42 las filas, columnas, vigas y diagonales del cubo y de las secciones centrales, no lo hacen las diagonales de las caras exteriores.

¿Existen los cubos mágicos de verdad? Está rigurosamente demostrado que no los hay de 3×3×3 ni de 4×4×4, pero nada se sabe de los de 5×5×5, 6×6×6 ni 7×7×7.

¡Existe, sin embargo, un cubo de 8×8×8! Fue descubierto en 1970 por Lewis Myers, aquí lo tenemos:

19	497	255	285	432	78	324	162	381	159	401	115	194	292	46	464
303	205	451	33	148	370	128	414	65	419	173	335	510	32	274	244
336	174	420	66	243	273	31	509	34	452	206	304	413	127	369	147
116	402	160	382	463	45	291	193	286	256	498	20	161	323	77	431
486	8	266	236	89	443	181	343	140	362	104	390	311	213	475	57
218	316	54	472	357	135	393	107	440	86	348	186	11	489	231	261
185	347	85	439	262	232	490	12	471	53	315	217	108	394	136	358
389	103	361	139	58	476	214	312	235	265	7	485	344	182	444	90
134	360	106	396	313	219	469	55	492	10	264	230	87	437	187	345
442	92	342	184	5	487	233	267	216	310	60	474	363	137	391	101
473	59	309	215	102	392	138	364	183	341	91	441	268	234	488	6
229	263	9	491	346	188	438	88	395	105	359	133	56	470	220	314
371	145	415	125	208	302	36	450	29	511	241	275	418	68	334	176
79	429	163	321	500	18	288	254	289	195	461	47	158	384	114	404
48	462	196	290	403	113	383	157	322	164	430	80	253	287	17	499
276	242	512	30	175	333	67	417	126	416	146	372	449	35	301	207
306	212	478	64	141	367	97	387	96	446	180	338	483	1	271	237
14	496	226	260	433	83	349	191	356	130	400	110	223	317	51	465
109	399	129	355	466	52	318	224	259	225	495	13	192	350	84	434
337	179	445	95	238	272	2	484	63	477	211	305	388	98	368	142
199	293	43	457	380	154	408	118	425	75	325	167	22	504	250	284
507	25	279	245	72	422	172	330	149	375	121	411	298	204	454	40
412	122	376	150	39	453	203	297	246	280	26	508	329	171	421	71
168	326	76	426	283	249	503	21	458	44	294	200	117	407	153	379
423	69	331	169	28	506	248	278	201	299	37	455	374	152	410	124
155	377	119	405	296	198	460	42	501	23	281	251	74	428	166	328
252	282	24	502	327	165	427	73	406	120	378	156	41	459	197	295
456	38	300	202	123	409	151	373	170	332	70	424	277	247	505	27
82	436	190	352	493	15	257	227	320	222	468	50	131	353	111	397
366	144	386	100	209	307	61	479	4	482	240	270	447	93	339	177
269	239	481	3	178	340	94	448	99	385	143	365	480	62	308	210
49	467	221	319	398	112	354	132	351	189	435	81	228	258	16	494

Es increíble la riquísima red de sumas iguales que presenta. Invito a comprobarlas (introducirlas en un ordenador será de utilidad).

Nuestro impagable Miguel Á. Lerma publicó, ya en aquellos años del [C-9], algunos tesaractos semimágicos e incluso el programa para calcularlos. Así, de 3´3´3´3:

67	9	47	3	50	70	53	64	6
48	68	7	71	1	51	4	54	65
8	46	69	49	72	2	66	5	52
26	37	60	40	63	20	57	23	43
58	27	38	21	41	61	44	55	24
39	59	25	62	19	42	22	45	56
30	77	16	80	10	33	13	36	74
17	28	78	31	81	11	75	14	34
76	18	29	12	32	79	35	73	15

Y otro más de quinto orden: 3´3´3´3´3:

26	199	141	148	9	209	192	150	16
139	27	200	210	149	7	17	190	159
201	140	25	8	208	150	157	18	191
202	144	20	3	212	151	161	10	195
21	203	142	152	1	213	193	162	11
143	19	204	211	153	2	12	194	160
138	23	205	215	145	6	13	198	155
206	136	24	4	216	146	156	14	196
22	207	137	147	5	214	197	154	15
111	77	178	188	118	60	67	171	128
179	109	78	58	189	119	129	68	169
76	180	110	120	59	187	170	127	69
80	172	114	121	63	182	165	131	70
112	81	173	183	122	61	71	163	132
174	113	79	62	181	123	130	72	164
175	117	74	57	185	124	134	64	168
75	176	115	125	55	186	166	135	65
116	73	177	184	126	56	66	167	133
229	90	47	30	239	97	107	37	222
48	230	88	98	28	240	220	108	38
89	46	231	238	99	29	39	221	106
84	50	232	242	91	33	40	225	101
233	82	51	31	243	92	102	41	223
49	234	83	93	32	241	224	100	42
53	226	67	94	36	236	219	104	43
85	54	227	237	95	34	44	217	105
228	86	52	35	235	96	103	45	218

Pueden verse más detalles sobre esta cuestión en el artículo sobre Mathematical Games de septiembre de 1975 de Scientific American, por nuestro maestro Martin Gardner.

JMAIO, feb 90