Los cuadrados mágicos primos

Una animada correspondencia se suscitó recientemente en Carrollia a propósito de los cuadrados mágicos primos. El tema ha sido estudiado exhaustivamente por los expertos, que nos deleitan con curiosos hallazgos. Hay que advertir que a menudo se admite aquí el 1 como si fuera primo. En cambio, no puede figurar el 2, por razones obvias.

El primero conocido fue elaborado por el eterno Dudeney (1917). Con constante 111, es el siguiente:

67	1	43
13	37	61
31	73	7

El siguiente evita el escollo del 1. Es, que se sepa, el que tiene la constante menor (177). Fu hallado por Mardachy (1979), y atribuido a R. Ondrejka.

17	89	71
113	59	5
47	29	101

El tercero que ofrecemos está formado por primos en progresión aritmética, con la menor constante posible. También debido a Mardachy (1879), y atribuido a R. Ondrejka. Su constante es 3117.

1669	199	1249
619	1039	1459
829	1879	409

Éste es el primero que fue elaborado de 4º orden. Su constante es 120. Fue hallado por A. W. Johnson jr.

3	61	19	37
43	31	5	41
7	11	73	29
67	17	23	13

Este curioso cuadrado fue descubierto por Nelson. Es, según, él, el más bajo de tercer orden que contiene primos consecutivos. Su constante es 4.440.084.513.

1480028159	1480028153	1480028201
1480028213	1480028171	1480028129
1480028141	1480028189	1480028183

El que viene ahora es de verdad imponente. Debido a J. N. Muncey (1913), es el más bajo posible que reúne primeros primos impares consecutivos (salvo el 2). Registra los primeros 144. Su constante es 4514.

1	823	821	809	811	797	19	29	313	31	23	37
89	83	211	79	641	631	619	709	617	53	43	739
97	227	103	107	193	557	719	727	607	139	757	281
223	653	499	197	109	113	563	479	173	761	587	157
367	379	521	383	241	467	257	263	269	167	601	599
349	359	353	647	389	331	317	311	409	307	293	449
503	523	233	337	547	397	421	17	401	271	431	433
229	491	373	487	461	251	443	463	137	439	457	283
509	199	73	541	347	191	181	569	577	571	163	593
661	101	643	239	691	701	127	131	179	613	277	151
659	673	677	683	71	67	61	47	59	743	733	41
827	3	7	5	13	11	787	769	773	419	149	751

Pero es todavía más sensacional el de 13×13 que sigue, mágico con orla, de forma que los cuadrados internos de 11×11, 9×9,…3×3 son también cuadrados mágicos primos.

1153	8923	1093	9127	1327	9277	1063	9133	9661	1693	991	8887	8353
9967	8161	3253	2857	6823	2143	4447	8821	8713	8317	3001	3271	907
1831	8167	4093	7561	3631	3457	7573	3907	7411	3967	7333	2707	9043
9907	7687	7237	6367	4597	4723	6577	4513	4831	6451	3637	3187	967
1723	7753	2347	4603	5527	4993	5641	6073	4951	6271	8527	3121	9151
9421	2293	6763	4663	4657	9007	1861	5443	6217	6211	4111	8581	1453
2011	2683	6871	6547	5227	1873	5437	9001	5647	4327	4003	8191	8863
9403	8761	3877	4783	5851	5431	9013	1867	5023	6091	6997	2113	1471
1531	2137	7177	6673	5923	5881	5233	4801	5347	4201	3697	8737	9343
9643	2251	7027	4423	6277	6151	4297	6361	6043	4507	3847	8623	1231
1783	2311	3541	3313	7243	7417	3301	6967	3463	6907	6781	8563	9091
9787	7603	7621	8017	4051	8731	6427	2053	2161	2557	7873	2713	1087
2521	1951	9781	1747	9547	1597	9811	1741	1213	9181	9883	1987	9721

Lo más curioso es que las respectivas constantes son:

70681

59807

48933

38059

27185

16311

Y estos valores están en progresión aritmética de razón 10874.

Puede hallarse más información sobre el tema en http://mathworld.wolfram.com/PrimeMagicSquare.html

JMAiO, Navidad 06