Tomo una y retorno dos
Mariano Nieto propone
en [C-90] (sección correo) el problema que sigue:
En una urna
hay una bola blanca y otra negra. Se saca al azar una de ellas y se devuelve a
la urna acompañada de otra del mismo color. Esta operación se repite un número
indefinido de veces.
¿Cuál es la
probabilidad de que cuando la urna contenga 20 bolas haya 10 de cada color?
Solución
Sea (b, n) la composición de la urna con b bolas
blancas y n negras, y llamemos etapa a cada intervención que extrae una bola de
la urna y devuelve dos. Convengamos en que la configuración de partida, (1,1),
corresponde a la etapa 1. En la etapa 2 tendremos las dos configuraciones
posibles de la urna, (2,1) y (1,2), asociadas con la misma probabilidad de 1/2.
Esta simetría inicial nos sugiere el siguiente
procedimiento por inducción. Si suponemos que en la etapa n cada una de las n
configuraciones posibles
(n, 1), (n – 1, 2), (n – 2, 3), ..., (n – a, a + 1), ..., (2,
n – 1), (1, n) [1]
tiene la misma probabilidad p de ocurrir (con p =1/n por
lo tanto), podemos calcular las probabilidades y configuraciones de la etapa n + 1:
a) La probabilidad de la configuración (n + 1,1) (rama
izquierda del árbol de bifurcaciones) será p(n + 1,1) = p x n / (n + 1) = 1 /
(n + 1).
b) La probabilidad de la configuración (1, n+1) (rama
derecha del árbol de bifurcaciones) será p(1, n + 1) =
p x n / (n + 1) = 1 / (n + 1).
c)
La configuración
(n – a, a + 2), con 0 ≤ a ≤ (n – 2) para asegurar que se recorre el
rango de configuraciones de la etapa (n + 1) con exclusión de las extremas,
antes consideradas, proviene de (n – a, a + 1) tras sacar una bola negra, o
bien de (n – a –
p x (a + 1) / (n +
1) + p x (n – a – 1) / (n + 1) = p x n / (n + 1) = 1 / (n + 1)
de modo
que todas las configuraciones de la etapa n
+ 1 tendrán también la misma probabilidad, en este caso 1/(n + 1).
En la etapa 3, por ejemplo, es fácil ver que las 3
configuraciones posibles, (3, 1), (2, 2) y (1, 3) comparten la probabilidad
1/3. Así pues, el método de inducción nos permite concluir que en la etapa n, es decir tras n – 1 operaciones con la
urna, ésta contendrá (n + 1) bolas y
tendremos las n configuraciones
posibles [1], a cada una de las cuales le corresponde la misma probabilidad, 1
/ n.
La configuración (10, 10) por la que pregunta el
problema pertenecerá por lo tanto a la etapa n = 19 (tras 18 operaciones con la urna), y en consecuencia su
probabilidad será igual a 1 / 19, algo mayor que 5,26 por ciento.
En general, a la configuración (b, n), donde b es el
número de bolas blancas y n el de negras, siendo b y n números naturales
cualesquiera ya que cualquier configuración es alcanzable, le corresponderá la
probabilidad p(b, n) = 1 / (b + n – 1).
P. Crespo, septiembre 2006