Los repunos y los números de Demlo

Entre los números palindrómicos, los más elementales, y a la vez interesantes, son los que tienen todas sus cifras iguales. Llamamos repuno a un número cuya expresión consta sólo de la cifra 1: 1, 11, 111, 1111, 11111… Los simbolizaremos como R_n = 111…⁽ⁿ⁾…1.

Limitándonos de momento a la base decimal, pueden obtenerse sobre ellos unas fórmulas casi inmediatas. Por ejemplo, la expresión algebraica de un repuno de orden n como suma de una progresión geométrica:

Los repunos plantean una pregunta inmediata: ¿son primos o compuestos? Obviamente 11 es primo, pero los siguientes repunos primos son R₁₉, R₂₃, R₃₁₇, R₁₀₃₁, R₄₉₀₈₁… Como se ve, escasean bastante.

En todo caso, las descomposiciones de un repuno en factores primos pueden ser bastante complicadas. Por ejemplo:

R191 = 4473297929 × 112103021940812743353521 ×
22157070867225796885592763585328262489569972968246581871290190759966138800400415156501827001797032745294740404832373351030284459396524271152620265237784647679

Si nos referimos a la base 2, un repuno será de la forma 2ⁿ – 1, es decir, un número de Mersenne. Es también sabido que los primos de Mersenne escasean bastante: M_i = {3,7,31,127,8191.131071,524287…}.

Los repunos en bases no primas son siempre compuestos, de acuerdo con el pequeño teorema de Fermat, y por ello tienen poco interés. Por ejemplo, 11111₍₆₎ = 1555₍₁₀₎ = 5 × 311.

Un curioso derivado, también palindrómico, de los repunos son los números de Demlo, que obedecen a la forma:

D₁ = 1

D₂ = 121

D₃ = 12321

D₄ = 1234321

D₅ = 123454321

D₆ = 12345654321

D₇ = 1234567654321

D₈ = 123456787654321

D₉ = 12345678987654321

…………………………….

La expresión está clara hasta que la cifra central es un 9, pero, ¿es generalizable a partir de ahí? Sí, porque resulta que el número de Demlo de orden n vale precisamente el cuadrado del correspondiente repuno. Así, 121 = 11², 12321 = 111², etc. Es pues natural extender la noción de número de Demlo al cuadrado del repuno correspondiente:

D_n = R_n².

Claro es que con ello se altera la bella simetría. Por ejemplo, para el de orden 10:

D₁₀ = 1111111111² = 111…⁽¹⁰⁾…1² = 1234567900987654321

Otra fórmula interesante, casi inmediata, es la que da la suma de las cifras de los números de Demlo. Vale precisamente n² (suma de dos progresiones aritméticas), pero sólo hasta el orden 9.

A partir de ahí, tampoco es ya válida la fórmula de la suma de los dígitos. En el caso anterior, ésta vale 82, en lugar de 100, como presagiaría la fórmula. Se pregunta: ¿Existirá, con esta generalización, algún número de Demlo cuya suma de cifras siga siendo un cuadrado perfecto? Hay unos pocos a partir de n > 9, son los de índices 36, 51, 66, 81…

D₃₆ = 1111…⁽³⁶⁾…1² = 12345679012345679012345679012345678987654320987654320987654320987654321

D₅₁ = 1111…⁽⁵¹⁾…1² = 12345679012345679012345679012345679012345679012345654320987654320987654320987654320987654320987654321

D₆₆ = 1111…⁽⁶⁶⁾…1² = 12345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012320987654320987654320987654320987654320987654320987654320987654321

D₈₁ = 1111…⁽⁸¹⁾…1² = 12345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345678987654320987654320987654320987654320987654320987654320987654320987654320987654321

JMAiO, Torredembarra, jun 09