El problema del pastillero

El médico me ha prescrito una pastilla diaria de una medicina, que tomo del pastillero de la figura, con capacidad para una semana.

Es obvio calcular de cuántas formas distintas puedo agotar el pastillero. Serán 7! = 5040. Sin embargo, se me ocurrió pensar de cuántas formas podría hacerse esto con la condición de tomar siempre una pastilla contigua a la anterior.

Solución

No hemos hallado mejor método que el empleo del ordenador. Para ello hemos asignado a las pastillas los siguientes nombres y coordenadas:

B(1,1) D(3,1) F(5,1)

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A(0,0) C(2,0) E(4,0) G(6,0)

Llamaremos “distancia” entre dos pastillas a la suma de las diferencias en valor absoluto entre sus coordenadas. Por ejemplo, distancia (BD) = 2; distancia (CF) = 4; distancia (BG) = 6. La condición de contigüidad impuesta equivale a que la distancia entre dos pastillas consecutivas de la permutación elegida sea 2.

Entonces será posible establecer un programa con esa condición. Por su premiosidad, no lo pongo aquí; lo mandaré a quien me lo pida a albaiges@ciccp.es).

El resultado es el siguiente:

ABCDEFG	BACDEFG	CABDEFG	DBACEFG	ECABDFG	FDBACEG	GECABDF
ABCDEGF	BACDEGF	CABDEGF	DBACEGF	EGFDBAC	FGECABD	GEFDBAC
ABCDFEG	BACDFEG	CABDFEG	DFGECAB	EGFDBCA	FGECDBA	GEFDBCA
ABCDFGE	BACDFGE	CABDFGE	DFGECBA	EGFDCAB	FGEDBAC	GEFDCAB
ABCEDFG	BACEDFG	CEGFDBA		EGFDCBA	FGEDBCA	GEFDCBA
ABCEGFD	BACEGFD				FGEDCAB	GFDBACE
ABDCEFG	BDFGECA				FGEDCBA	GFDECAB
ABDCEGF						GFDECBA
ABDFGEC						GFECABD
ACBDEFG						GFECDBA
ACBDEGF						GFEDBAC
ACBDFEG						GFEDBCA
ACBDFGE						GFEDCAB
ACEGFDB						GFEDCBA

Como vemos, sólo son “útiles” 56 de las 5040 permutaciones posibles. Particularmente difíciles son los “caminos” que arrancan de la pastilla central D: sólo hay 4. Cada solución, como era de esperar, tiene su simétrica respecto al eje vertical que pasa por D.

JMAiO, BCN, oct 07