PROBLEMA DE LAS PAREJAS
Propuesto
por
En la última comida en casa de mi amigo
Josep Maria Grau concurrimos cuatro parejas. La mesa era circular, y a un lado
nos situábamos los maridos, y al otro las mujeres. En un momento dado observé
que las distancias entre cada marido y su mujer eran distintas.
Los maridos estábamos en el lado Norte
de la mesa, y, contando a derechas, éramos A, B, C, D. ¿Cómo estaban sentadas
las mujeres A’, B’, C’, D’?
Llamemos
a los hombres A, B, C, D, y a sus mujeres (por razones de subconsciente
machista) con las minúsculas correspondientes. Supongamos a los hombres
ocupando las posiciones indicadas en las figuras: A(0), B(α), C(2α),
D(3α), siendo α el ángulo de 45 grados contado en el sentido de las
agujas del reloj a partir de la posición de A.
El
asiento de la esposa se asigna mediante un operador aplicado a su marido. Así,
por ejemplo, si a se sentara frente a A
(diametralmente opuesto) escribiremos a = 4 α A.
Si
las distancias son distintas, está claro que los operadores disponibles son 1
α, 2 α, 3 α y 4 α. Ahora bien, el operador 1 α
solamente se puede aplicar a A o a D. Elegiremos A, y
prescindiremos del caso D porque suponemos que no estamos interesados en las
soluciones de tipo simétrico. Será a = - α A. Restan los operadores 2
α, 3 α, y 4 α. Resulta que a D no puede aplicarse 4 α, pues
sería d = a, y no se considera la poliandria ni la poligamia. Así pues, tenemos
solamente dos alternativas: d = 2 α D y d = 3 α D.
En
el primer caso (figura 1), queda
automáticamente prohibida la asignación a B de 4 α, de modo que solamente
resulta una configuración: b = 3 α, y c = 4 α.
Figura 1
En
cuanto a la alternativa d = 3 α, ésta anula automáticamente la asignación
4 α a C, de modo que resulta la configuración de la figura 2.
Figura 2
P.
Crespo, marzo 2005