LAS LLAVES DE
Cuatro socios deciden encargar una caja fuerte para custodiar los documentos importantes de su empresa. Acuerdan que la caja deberá tener tal número de cerraduras (cada una con una llave diferente) y cada uno de ellos deberá recibir tal número de llaves, de modo que se cumplan estas dos condiciones: 1ª. Dos cualesquiera de los 4 socios, juntando sus llaves, no puedan abrir la caja. 2ª. Tres cualesquiera de los socios, juntando sus llaves, sí puedan abrir la caja.
¿Cuántas cerraduras, como mínimo, deberá tener la caja? ¿Cuántas y qué llaves tendrá que recibir cada socio?
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Solución:
Si dos cualesquiera de los socios no pueden abrir la caja será necesario que ambos carezcan de la misma llave de una de las cerraduras; cualquiera que sea el tercer socio que se les una, éste deberá tener esa llave de la que carecen los otros dos, de lo contrario entre los tres no podrían abrir como exige la 2ª condición del enunciado. Combinando los 4 socios de dos en dos tendremos 6 posibilidades, por consiguiente se necesitarán 6 cerraduras y cada socio recibirá tres llaves que podrían distribuirse como indica el cuadro adjunto en el que a cada par de socios le hemos eliminado una misma llave (correspondiente a la casilla en negro).
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Llave 1 |
Llave 2 |
Llave 3 |
Llave 4 |
Llave 5 |
Llave 6 |
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Socio A |
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Socio B |
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Socio C |
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Socio D |
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Así pues un socio recibiría las llaves 4,5,6; otro las 2,3,6: otro las 1,3,5 y el cuarto las 1,2,4.
El problema puede generalizarse
al caso de s socios siendo n+1 el número de los que juntos
puedan abrir
el número de
cerraduras necesarias y 
el número de llaves
que debe recibir cada socio.
Aristogeronte
Madrid, mayo 2007.