Combinatoria en el go

En el juego del go se disponen hasta 181 fichas negras y 180 blancas sobre las 361 intersecciones de un tablero cuadriculado.

Preguntas: ¿Cuántas posiciones finales posibles pueden darse en el go? ¿Cuántas en total?

Desde el punto de vista de la combinatoria, cada cruce tiene tres posibilidades:

a) Estudiemos primero la posición final, cuando el tablero contiene todas las fichas posibles. Las posibilidades de un cruce son ahora dos: contener ficha blanca o negra. Se trata, por tanto, de un caso de permutaciones con repetición entre 191 fichas negras y 190 blancas. Por tanto:

492316186499728100492745784148778793010909851708569721312735510395357259264956236014653908213226666438950526766962899606346151610689509946037754952482816000000 = 4,92316 · 10¹⁵⁴

b) Pasemos ahora al caso general, con i fichas negras, j fichas blancas y k casillas vacías. Ahora las posibilidades de un cruce son tres:

· Contener ficha negra

· Contener ficha blanca

· Estar vacío

Obviamente será i + j + k = 381. Pero además, i no podrá sobrepasar el valor 181, ni j el valor 180. Con ello llegamos a una fórmula parecida a la del sumatorio del trinomio, aunque ligeramente modificada:

Se ha podido efectuar este formidable sumatorio mediante el uso del programa Mathematica, obteniendo el resultado:

N₂ = 60701307828424020036169902546427119884843023493195226101087099556263579000488285604707300520403332177861050196226600171047987627934289303129479755173577866851908629759739401912646637 = 6,070131 × 10¹⁸¹

JMAiO, BCN, mar 08