Con una balanza para la que no se dispone de pesas, y que consiste únicamente
en dos platillos y un fiel, se permite efectuar un número p de operaciones de comparación de
pesos.
Se tiene un conjunto de bolas, todas en apariencia exactamente iguales y
pesando lo mismo, con excepción de una de ellas, que pesa algo más que las
otras. Se pregunta cuál es el número máximo de bolas que hace posible la
solución del problema de localizar la bola más pesada mediante p operaciones con la balanza antes
descrita.
Sea N(p)
el número que se busca. En la primera operación se coloca un conjunto B1 de
bolas en uno de los platillos y un conjunto B2 en el otro plato (el número de
bolas del conjunto B1 debe ser igual al del conjunto B2, o de otro modo no se
obtendrá ninguna información relevante de la pesada), quedando aparte un conjunto
B3. Después de esta primera operación, la bola más pesada quedará localizada en
uno de los tres conjuntos B1, B2 o B3, según que la balanza se incline hacia
B1, B2 o bien permanezca mantenida en su fiel. Así pues, el problema vuelve a
resultar el mismo, pero con p – 1 operaciones de pesar permitidas. Por
lo tanto, para que N(p) sea el mayor
número posible, interesa que el número de bolas que integran los conjuntos B1,
B2 y B3 sea el mismo e igual a N(p
– 1), según la definición de N antes convenida.
El resultado es inmediato, sin más
que aplicar sucesivamente el razonamiento anterior:
N(p)
= 3.N(p – 1) = 32.N(p – 2) = . . . = 3p-1.N
[p – (p – 1)]=3p-1.N(1)
Pero N(1)
= 3, ya que en una sola pesada se localiza el conjunto B1, B2 o B3, y éste debe
se ya la bola que se busca, puesto que no se puede volver a operar con la
balanza. En consecuencia, la fórmula que se busca es en definitiva
N(p) = 3p
Procedimiento
Conviene observar que la
demostración que hemos ofrecido proporciona a la vez el procedimiento a seguir:
a)
Si
el número de bolas es igual a 3p, se separan tres conjuntos de 3p-1
bolas (o lo que es lo mismo, se hacen tres partes iguales) y se coloca uno en
cada platillo dejando el tercero aparte. La primera pesada localiza la bola en
uno de los conjuntos, que se dividirá igualmente en tres partes de 3p-2 bolas
cada uno, y se continúa del mismo modo hasta determinar la bola en cuestión en
la última pesada.
b)
Si
el número de bolas dado no fuera el máximo 3p, se forman tres conjuntos;
los dos destinados a los platillos han de ser iguales en número de bolas, de
forma que ninguno de los tres conjuntos ha de tener más de 3p-1
bolas. Se va aplicando el mismo criterio, y cabe la posibilidad de que la bola
resulte determinada en menos de p
operaciones.
Nota
Si la bola que es distinta en peso
fuera más ligera en lugar que más pesada que las otras, es obvio que no existe
ninguna diferencia en cuanto a la solución del problema, con la salvedad de que
ahora el fiel se inclinará en su caso hacia el plato contrario al que contiene
la bola buscada.
Variante
Proponemos una variante más
complicada de este problema, que se da en el caso de que la bola singular tenga
un peso distinto de las otras, con la misma apariencia externa, y sin que se
conozca de antemano el signo de la diferencia de peso. Se trata de averiguar,
si se dispone de p pesadas, el número
máximo de bolas que permite hallar dicha bola de peso distinto, y averiguar a
la vez si pesa más o menos que las demás.
Pedro Crespo,
mayo 2004