TRAYECTOS EN
BARCELONA
Barcelona es una ciudad cuyo ensanche se
halla organizado urbanísticamente mediante manzanas
cuadradas y ortogonales, de 113,33 m de lado, separadas por calles de 20 m de
ancho.
En relación con esta estructura viaria, la
más sencilla imaginable, se han ideado multitud de problemas. El más clásico es
hallar el número posible de formas de ir sin retroceder desde A hasta B, puntos
separados por m manzanas en sentido "horizontal" y n en sentido
"vertical".
Cada trayecto posible se puede representar
con un símbolo del tipo HHVHHVVVH... (m veces un tramo
horizontal y n veces uno vertical), por lo que el número pedido es el de
permutaciones con m letras H y n letras V, o sea:
Otro problema algo más complicado, cuya
solución dejamos al lector, es hallar el número de caminos posibles para m=n, pero sin traspasar la diagonal AB (podemos tocarla en
un ángulo recto del trayecto)[1].
Y vamos a plantear otro de cierto interés
práctico. Cada esquina está semaforizada, de modo que
estadísticamente estamos sujetos a un tiempo medio de espera te
antes de cruzar. Ello significaría una espera total (m+n)te en el recorrido.
Pero podemos ganar algo de tiempo. En cada
cruce, uno de los dos semáforos (el de dirección H o el V) estará abierto,
conque elegiremos éste siempre (para simplificar, supondremos que continuamos
entonces en la misma dirección hasta la siguiente esquina, prescindiendo del
hecho de que quizás mientras atravesamos se abra el otro semáforo). Se
pregunta: ¿Cuál será en este caso el tiempo de espera medio? La probabilidad de
que un semáforo esté abierto es para todos igual a 1/2.
JMAiO, dic 93
SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LOS TRAYECTOS POR
BARCELONA
Cada uno de los caminos erráticos posibles
elegidos según el criterio indicado nos conducir a un punto Z, en el lado
derecho o superior del mapa, en general no coincidente con B. Si la distancia
todavía a recorrer es de k manzanas, a partir de allí no nos podremos librar de
una espera media igual a kte.
Por otra parte, el camino que nos ha
conducido a Z tenía una probabilidad:
Por
tanto, la espera media ser simplemente la esperanza matemática de todas
las esperas correspondientes a todos los puntos Z posibles. O sea:
Lado derecho: 
Lado superior: 
No existe ningún algoritmo simple para la
suma, por lo que ser necesario realizarla por ordenador. Estos son los
resultados para algunos casos simples (te=1):
m= 1
2 3 4
5 6
n= 1
1,00
2 1,75 1,75
3 3,00 2,38 2,38
4 4,56 3,47 2,92 2,92
5 6,31 4,89 3,91 3,41 3,41
6 8,17 6,53 5,22 4,32 3,87 3,87
En el caso en que m = n, la tabla tiene
interés:
m Te
1
1
2 1,75
3 2,375
4 2,922
5 3,414
6 3,865
7 4,284
8 4,676
9 5,048
10 5,400
11 5,737
12 6,059
13 6,369
14 6,668
15 6,957
Un somero análisis muestra que los tiempos
totales de espera tienden a crecer con la raíz cuadrada del lado, como es habitual
en Estadística (compensación de errores).
JMAiO, dic 93