CICLOS OPERACIONALES

El doctor Matrix, seudónimo de Martin Gardner (Los mágicos números del doctor Matrix), nos informa de la siguiente curiosidad: Tomemos dos números cualesquiera, a₁, a₂ (por ejemplo, 4,1 y 23,45), y calculemos mediante ellos la siguiente sucesión:

· Sumamos 1 al segundo número y lo dividimos por el primero: 24,45/4,1 = 5,963415…

· Sumamos 1 al cociente y lo dividimos por el número anterior: 6,963415/23,45 = 0,296947…

· Reiteramos: 1,296947/5,963414 = 0,217484…

Podríamos pensar que al continuar el proceso seguiríamos obteniendo otros valores de un aspecto tan “aleatorio” como los anteriores, pero he aquí que la siguiente reiteración da:

· 1,217484/0,296947 = 4,1

¡Y a partir de ahí siguen apareciendo los mismos números! La cadena, según vemos, consiste en reiterar la operación:

Unas simples operaciones algebraicas demuestran el carácter cíclico de la sucesión.

Existen otras operaciones del tipo de la anterior. La más simple es a_n = 1/a_n-1, cuyo período es 2. Con a_n = 1(1-a_n-1) se obtiene el período máximo de 3. Basta partir de cualquier número significativo, real o complejo, restarlo de 1, hallar la recíproca y repetir la operación dos veces más para volver al punto de partida.

El ciclo más largo que se conoce para tres variables es 8, dado por la función recursiva a_n = (1+a_n-1+a_n-2)/a_n-3. Las letras representan, claro está, los últimos tres términos de la serie generada en forma recursiva. Así, si a₁=1, a₂=2, a₃=3, la serie es 1, 2, 3, 6, 5, 4, 5/3, 4/3, 1, 2, 3… El ciclo más largo con cuatro variables es 12. Se genera mediante a_n = a_n-1a_n-4/(a_n-1a_n-3-b_n-2), fórmula descubierta por Conway.

JMAiO, Salou, set 99