EL PROBLEMA DE LAS TRES CAJAS

Es uno de los más clásico en matemáticas rec:reativas. Tenemos tres cajas; en una hay dos bolas blancas, en otra dos negras, en la tercera una blanca y una negra. Sacamos a ciegas una bola de una de las cajas y resulta ser blanca.

¿Cuál es la probabilidad de que al sacar la otra bola de la misma caja ésta sea también blanca?

A primera vista pudiera pensarse que ½, pues de las dos cajas que contenían la bola blanca, una está agotada y en la otra queda todavía otra blanca. Pero no es así.

Según el teorema de Bayes, la probabilidad de sacar bola blanca eligiendo una caja al azar era:

La probabilidad de obtener blanca en la segunda extracción, habiendo obtenido blanca en la primera, es obviamente la misma que la de haber elegido la primera caja, o sea:

Por tanto, la probabilidad pedida valdrá:

Si esta conclusión resulta chocante, piénsese en las distintas posibilidades de extracción: son para la primera bola BB, BB, BN, NB, NN, NN. Entre éstas, en tres sale blanca en primer lugar. Al sacar la segunda bola de entre ellas, en dos casos resulta ser también blanca.

JMAiO, jul 99