EL MEMORABLE SORTEO DE LOS MOZOS DE 1997

¿Qué añadir a los comentarios sobre el sorteo de los quintos del año 97 que no se haya dicho ya? Sólo nos cabe, puesto que [C] es una revista sobre matemáticas, analizarlo un poco más profundizadamente de lo que se ha hecho en la prensa.

Resumamos los hechos. De un total de 165.343 mozos (datos de la prensa, pero eso puede no ser cierto, como veremos), debían quedar exentos de prestar el servicio militar un total de 16.442. ¿Cómo hacerlo de la forma más rápida posible? Muy fácil para cualquiera: asignar a cada mozo un número aleatorio entre 0 y 165.342, y realizar seguidamente un sorteo entre ellos. La probabilidad de librarse un mozo de número x no dependería de éste, y valdría:

p(x) =

Hacer la rifa por el sistema de la lotería de Navidad (es decir, extrayendo 16.442 bolas de un gran bombo que contuviera 165.343) hubiera sido tedioso, y el sorteo mediante ordenador provoca desconfianzas. Por todo ello se recurrió a un procedimiento simplificado. Se tomaron seis bombos, en el primero se colocaron cinco bolas marcadas con el número cero y cinco más con el uno, y en los restantes, diez bolas en cada uno, numeradas del 0 al 9. Seguidamente se procedió a lo que llamaremos “sorteo básico”, realizando una extracción de cada bombo, con lo que se determinaron los dígitos de un “número básico”, a partir del cual se inició el conteo del intervalo que quedaba exento, que comprendía este número y los 16.441 siguientes, empezando otra vez a contar desde 0 si hiciera falta.

En el sorteo básico resultó agraciado el número 155.611, por lo que contando desde éste salieron los que faltaban hasta el final, y los restantes hasta los 16.442 exentos fueron situados al principio de la lista.

Advirtamos previamente algo: el célebre sorteo pudo haber sido justo, después de todo. Bastaría con haber advertido previamente que en caso de resultar agraciado un número superior al 165.342, se repetiría todo, incluyendo la extracción del famoso bombo primero. Con ello las probabilidades de cada quinto quedaban igualadas.

La ausencia de dicho condicionante previo ha hecho nacer las críticas. Y es que, en su ausencia, para que este sistema simplificado hubiera sido justo era necesario, por razones obvias a un lector de [C], que el primer bombo hubiera contenido, por ejemplo, 20 bolas con el 0 y otras 13 con el 1 (aun así, habría un pequeñísimo error). Pero, de la forma seguida, el número 0 y el 1 eran equiprobables en el primer bombo, con lo que es obvio que los números entre el 0 y el 99.999 tienen la misma probabilidad global de ser agraciados en el sorteo básico que los situados entre el 100.000 y el 165.343. Si llamamos p₀ y p₁ a las respectivas probabilidades individuales de que el “número agraciado” n caiga en la primera o en la segunda centena de millar, respectivamente, éstas valen:

Para que un mozo de número x se libre, el sorteo básico deberá salir agraciado un número n situado en el intervalo [x - 16441,x], entendiéndose que para x < 16441, se tomará x’ = x + 16441. Como este intervalo, que llamaremos “recorrido de n”, puede quedar a caballo entre la primera y la segunda centenas de millar, esto originará varios intervalos con distintas probabilidades p(x).

a) 16442 £ x < 100000. El recorrido de n queda enteramente en la primera centena de millar, por lo que es p(x) = 16442p₀ = 0,0822.

b) 100000 £ x < 116441. El recorrido de n queda ahora a caballo entre las dos centenas de millar. En la primera tiene n - 99999 números, y en la segunda el resto, o sea 83557 - n. La probabilidad p(x) será la correspondiente media ponderada, o sea p(x) = [(n - 99999)p₀ + (83557 - n)p₁]/16442. Esta función de x aumenta linealmente desde p₀ a p₁.

c) 116441 £ x < 165342. El recorrido de n queda ahora entero dentro de la segunda centena de millar, por lo que es p(x) = 16442p₁ = 0,1258.

d) x < 16441. Ahora el recorrido de n queda a caballo entre el final de la segunda centena de millar y el principio de la primera. Razonando como en b), se obtiene que p(x) = [np₀ + (165342-n)p₁]/16442. La probabilidad disminuye linealmente desde p₁ a p₀.

En resumen, las condiciones más ventajosas se han dado para las mozos situados en el intervalo c, mientras que los más desgraciados han sido los del a. La relación entre las probabilidades de uno y otro intervalo han sido 0,1252/0,0822 = 1,52.

Coda final. Esta historia tiene un curioso añadido. Poco después del sorteo, la prensa informó sobre un mozo a quien le había sido asignado el número 0, y que, rodeado de exentos, tendrá que hacer la mili al haberse saltado injustamente este número. ¡Pobre muchacho! De paso, esto nos suscita otra duda: puesto que había un cero, ¿no serían 165.344 los mozos y 165.343 las bolas? A lo mejor, no es ya que el Ejército no sepa sortear: ¡ni siquiera sabe contar!

No merece mayor comentario el chulesco aserto de que “no se repetirá el sorteo”, o la ridícula declaración, de que “en la práctica el error se compensó porque antes se había asignado a cada persona un número aleatorio”. Queda todo ello como material jocoso para los historiadores del siglo XXI.

JMAiO, nov 97