SUCESIONES VARIAS

Números de Catalan.

Responden a la fórmula:

Éstos son los primeros términos de la serie:

C_i = {1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790,477638700,1767263190,6564120420,24466267020,91482563640,343059613650, 1289904147324...}

Son frecuentes en combinatoria. Representan:

• De cuántas formas puede dividirse un polígono de n+2 lados mediante diagonales no intersectantes.
• De cuántas formas pueden introducirse paréntesis en n letras.
• De cuántas formas puede moverse una torre desde una esquina a otra del tablero sin atravesar la diagonal.

Particiones:

Llamaremos particiones de un número n, p(n), el número de formas distintas en que éste puede ser descompuesto en sumandos distintos. Por ejemplo, 4 puede ser descompuesto de 5 maneras distintas:

4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1

Luego, p(4) = 5.

Las particiones son los coeficientes del desarrollo de:

Función generatriz:

Asintóticamente tienden a:

Por definición, se toma p(0) = 1. El conjunto de particiones de n es el siguiente:

p(n) = {1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56…}

Números de Bell

Los números de Bell son frecuentes en combinatoria, y representan los posibles repartos distintos en subconjuntos que pueden formarse con n elementos distintos. Por definición, B_o = 1.

Por ejemplo, el conjunto de tres elementos A B C puede fraccionarse en subconjuntos las siguientes formas:

ABC

AB, C

AC, B

BC, A

A, B, C

Luego, B₃ = 5

Estos números son los coeficientes del desarrollo de:

B= {1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597...}

Números de Bernouilli

Desempeñan importantes papeles en Análisis. Responden a la expresión:

También:

Los impares son nulos excepto B₁ y B₃. El conjunto, excluidos los nulos, es:

B₂ = B₄ = 1/30

Número de Ramanujan:

262 537 412 640 768 743, 999 999 999 999 25…

Sirvió para introducir la teoría de los cuasi-enteros.

A veces se llama número de Ramanujan al 1729, el primero que es dos veces suma de dos cubos:

1729 = 10³ + 7³ = 12³ + 1³

Números de Fibonacci:

Los “números de Fibonacci” en general se definen por F_n = F_n-1 + F_n-2.

Fijados F₁ y F₂ se obtienen las restantes directamente mediante la fórmula:

Donde f es el número áureo, f = (Ö5 + 1)/2 = 1,618…

Los números de Fibonacci propiamente dichos tienen como términos iniciales (1,1). Son:

{F} = {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…}

Función generadora de los números de Fibonacci:

Lucas

Son un caso particular de los fibonaccianos, donde L₁ = 1; L₂ = 3:

L = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199,…}

Poseen la notable propiedad:

L_n = fⁿ + (-f)^-n

Siendo f el número áureo.

Mersenne

Son números primos que responden a la fórmula:

M_p = 2^p – 1

siendo p un número primo. Son:

M = {3, 7, 31, 127, 8191, 131071…}

No siempre 2^p – 1 es primo, aunque p lo sea. Por ejemplo, para p = 11, es 2¹¹ – 1 = 2047 = 23∙89. Este tipo de números son llamados pseudoprimos de Mersenne. Pero si 2^p – 1 es primo, puede asegurarse que p sí lo es.

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