Los sorprendentes números de Fermat

Llámanse números de Fermat a los de la forma:

Nuestro buen amigo Fermat, tan conocido por sus enigmáticas conjeturas (sólo hasta muy recientemente no ha podido demostrarse la más famosa, que xⁿ + yⁿ = zⁿ no pude verificarse para números enteros y n > 2), emitió en este caso otra: todos serían primos, según él.

En sus tiempos sólo eran conocidos los números de Fermat para n = 0, 1, 2, 3, 4, cuyos valores respectivos son 3, 5, 17, 257, 65537, erectivamente todos primos. El siguiente es ya muy elevado, 2³² = 4 294 967 297, cuya primalidad era muy difícil de establecer.

Con la aparición de los ordenadores se ha podido ir bastante más allá de donde llegó Fermat, y los resultados hasta ahora son paradójicos: ¡todos los descubiertos hasta el momento son compuestos! Veamos unas muestras:

F₅ = 2³² + 1 = 4294 967297 = 641* 6 700417

F₆ = 2⁶⁴ + 1 = 18 446744 073709 551617 = 274177*6 728042 1310721

F₇ = 2¹²⁸ + 1 = 34 028236 692093 846346 337460 7431768 211457 = 59649 589127 497217*5704 689200 685129 054721

Es curioso que Fermat no llegara a factorizar el caso n = 5, pues hazañas mayores había realizado el célebre médico-matemático. Pero hay más sorpresas: algunos de estos números no han podido ser factorizados, aunque sí se ha establecido su no-primalidad. Por ejemplo, para n = 8, es

F₈ = 2²⁵⁶ +1 = 115792 089237 316195 423570 985008 687907 853269 984665 640564 039457 584007 913129 639936, que no ha podido ser factorizado, aunque se sabe que no es primo.

¿Cómo ha sido esto? Aquí interviene una vez más nuestro impagable Euler, quien demostró en 1770 que si dos números (a,b) son primos entre sí, cualquier factor de es el número 2 o bien de la forma 2ⁿ⁺¹K + 1. Los números de Fermat son casos especiales de este teorema para a = 2, b = 1. Un siglo después, en 1878, Lucas demostró que todo divisor primo de debe ser de la forma 2ⁿ⁺²L + 1. Así, volviendo a 641, factor del número de Fermat para n = 5, es igual a 2⁵⁺²×5 + 1. Análogamente con varios de los siguientes, algunos de los cuales han podido ser factorizados parcialmente, de otros sólo se sabe que son compuestos.

He aquí la pregunta: ¿resultará que la conjetura de Fermat era realmente una anticonjetura, es decir, que siempre los números de Fermat serán primos para n > 4?

Por cierto que estos números marcan los lados de los polígonos construibles con regla y compás… pero esto es historia para otro día.

Josep M. Albaigès i Olivart

Torredembarra, julio 2006