¿De dónde sale el número e?
Un escuchante mío de
RNE en el programa sobre matemáticas de los años 2005-06 me hace la siguiente
consulta:
Cuando
estudiaba sexto de bachillerato, (plan de enseñanza 1957) un dia, el profesor
de matemáticas llegó a clase y dijo: Hoy toca el número "e". Y a
continuación escribió en la pizarra la expresión conocida de límite cuando n
tiende a infinito de 1 más 1 partido por n elevado a n. La desarrolló por el
binomio de Newton y obtuvo el conocido resultado de 2'718281...
Después nos
dijo que el numero "e" era
muy importante en matemáticas y que se utilizaba para la base de los logaritmos
neperianos. Es curioso ver como la derivada del logaritmo neperiano
de x = 1/x. EXACTO. siendo la base del logaritmo un número absolutamente INEXACTO,
IRRACIONAL.
Realmente
me quedé sorprendido. Primero, de cómo al barón de Néper se le había ocurrido
utilizar como base de logaritmos a un número irracional y, segundo, por qué
nunca me explicaron a quién se le ocurrió calcular el límite de la expresión
(1+1/n)n. ¿Por qué se le ocurrió a alguien esta expresión y no otra?
¿De donde surgió tal necesidad?. Creo que eso era lo primero que mi profesor de
matemáticas tenía que habernos contado, antes de calcular el límite.
Probablemente el profesor no conocía la respuesta, que
efectivamente es difícil de encontrar en los actuales libros de texto.
La definición actual de logaritmo de un número es “el
exponente a que hay que elevar una base dada para obtener dicho número”. Así,
por ejemplo, en base 10, el logaritmo de 2 es log10 2 = 0,301030
porque 100,301030 = 2 (aproximadamente). Pero Neper no concibió así
el logaritmo: para él era el resultado de comparar una progresión aritmética y otra
geométrica. Los términos de la primera serían los logaritmos de los de la
segunda. Esto se ve muy claro en esta tabla, en la que la razón de la
progresión aritmética es 1 y la de la geométrica es 10:
|
Progresión aritmética (razón 1) |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
Progresión geométrica (razón 10) |
10-3 |
10-2 |
10-1 |
100 |
101 |
102 |
103 |
De la propia estructura de ambos progresiones se desprende que un producto de términos en la progresión geométrica se corresponde con una suma en la progresión aritmética. Así, será log (xy) = log x + log y, y también log (xk) = k log x, etc.
Por la misma tabla, en la base 10, log (10-3) = log (0,001) = -3, log (102) = log (100) = 2, etc. Pero, ¿qué ocurre con los valores intermedios? ¿Cómo definir para ellos un logaritmo?
Neper intentó responder esta pregunta considerando dos progresiones de razones respectivas α y 1+β, siendo (α,β) muy pequeños. Entonces, dado un número N, siempre se podría encontrar un valor n tal que (1+ β)n = N (dentro de una aproximación suficiente). Entonces, el logaritmo de N sería nα.
Las progresiones más sencillas imaginables son aquéllas para las que α = β. Entonces será:
log N = log [(1+α)n] = nα
En esta expresión, n será muy grande y α será muy pequeño. Haciendo nα = L, podemos escribir la anterior igualdad:
log N = log {[(1+ α)1/α]}nα
= log [1+ α)1/α]L
Definamos ahora el número e como el límite de (1+α)1/α cuando α se hace infinitamente pequeño, o sea:
Y la expresión se simplificará notablemente:
log N = log eL = L log e
Resulta inmediatamente que el número e = 2,718281… es la base de logaritmos más conveniente desde el punto de vista teórico, pues en ella será log e = 1. Éstos son llamados los logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos (este último nombre procede de que miden el área subtendida entre una hipérbola y su asíntota).
El número e es, sin duda, el más importante en matemáticas, aunque π sea más popular. Se recuerdan sus primeras cifras con la mnemotecnia:
Te ayudaré a recordar
la cantidad a indoctos si reléesme bien.
Se aplica por el número de letras de cada palabra: Te = 2; ayudaré = 7, etc.
En la práctica son más usados los logaritmos decimales o de Briggs, que tienen por base el número 10. Presentan la ventaja de que la parte decimal de cada logaritmo (mantisa) no cambia al ser multiplicado el número por una potencia de 10, lo que hace muy prácticas las tabulaciones. El paso de los logaritmos de una a otra base es muy sencillo mediante el número M = log 10 = 2,302585... Se deduce sin dificultad que log x = M log10 x.
Barcelona,
octubre 2006