Las curiosas fracciones de Farey

 

El naturalista John Farey, que vivió en la era napoleónica, es un ejemplo de cómo los aficionados pueden estudiar ramas relativament sencillas que por alguna razón han pasado inadvertidas a los expertos. En su honor, se llaman fracciones de Farey las fracciones propias (menores que la unidad), eventualmente simplificadas y ordenadas de menor a mayor, cuyo denominador no excedan un determinado valor entero. Por ejemplo, las menores que 7 formaría el conjunto:

 

{F(7)} = {1/7, 1/6, 1/5, ¼, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, ½, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, ¾, 4/5, 5/6, 6/7}

 

Es inmediato hacerse algunas preguntas sobre tales conjuntos, por ejemplo:

 

  1. ¿Cuántas fracciones corresponden a un valor a un denominador máximo?
  2. ¿Existe alguna relación entre las fracciones adyacentes?

 

La segunda de estas cuestiones se resuelve sin más que observar el conjunto anterior. Una de las fracciones allí expuestas puede ser obtenida sumando los numeradores y denominadores para formar una nueva fracción, y eventualmente simplificando. Por ejemplo, el término 1/3, situado entre 2/5 y 3/7,  puede obtenerse así:

 

 

Esta regla ns permite hallar todos los términos partiendo de los dos primeros, siempre obvios. En este caso son 1/7 y 1/6. Por tanto, este último procede de la fracción x/y, que puede hallarse fácilmente según la regla anterior:

 

 

Si es z el mcd de la fracción anterior, ésta se halla fácilmente resolviendo las dos igualdades:

 

1 + x = z×1

7 + y = z×6

 

Este fácil sistema da x = 1; y = 5, es decir, x/y = 1/5.

 

En cuanto al número de fracciones, puede obtenerse del siguiente razonamiento: Puesto que cada fracción está simplificada al máximo, para un determinado denominador b, el número de numeradores es el de enteros menores que b y primos con él. Este valor es señalado con la notación φ(b), conque, extendiéndolo a todos los números entre 2 y n, resulta:

 

N(n) = φ(2) + φ(3) + φ(4) +…+ φ(n).

 

En el caso anterior:

 

N(7) = φ(2) + φ(3) + φ(4) + φ(5) + φ(6) + φ(7) = 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 6 = 17

 

El valor de N aumenta rápidamente con n. Así, N(100) = 3043

 

Otra curiosa propiedad es que las fracciones equidistantes de ½  son complementarias, es decir, su suma es la unidad. Además, la diferencia entre fracciones consecutivas es el inverso del producto de sus denominadores.

 

Otra propiedad sorprendente es que N(n) tiende a 3n2/π2. Como vemos, el famoso π aparece donde menos se piensa. Veamos el grado de convergencia:

 

n

φ (n)

N(n)

3n2/π2

1

1

0

0,30

2

1

1

1,22

3

2

3

2,74

4

2

5

4,86

5

4

9

7,60

6

2

11

10,94

7

6

17

14,89

8

4

21

19,45

9

6

27

24,62

10

4

31

30,40

15

8

71

68,39

25

20

199

189,98

50

20

773

759,91

100

40

3043

3039,64

200

80

12231

12158,54

300

80

27397

27356,72

400

160

48677

48634,17

500

200

76115

75990,89

 

 

Pueden hallarse más detalles en Recreations in the Theory of Numbers, por Albert H. Beiler.

 

                                                                                               JMAiO, Torredembarra, jul 06