LAS
CÚPULAS DE R. B. FULLER
Un reciente articulo en La Vanguardia (05.04.98) daba cuenta de
la historia de la cúpula del museo Dalí, en Figueres. En 1964 la revista Time publicaba un amplio reportaje sobre
el arquitecto estadounidense Richard
Buckminster Fuller, figura especialmente atrayente para nosotros los mensistas
por haber sido uno de los miembros más ilustres que ha tenido nuestro club. En
la portada, la fantasía del dibujante había imaginado al técnico con su cabeza
diseñada como una de sus famosas cúpulas geodésicas.
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Con la intemperancia propia
del genio, Salvador Dalí decidió repentinamente que su museo, a la sazón en
curso de construcción, debería tener una cúpula como aquélla, y a tal efecto
obligó sin vacilación a cambiar los planos al arquitecto Emilio Pérez Piñero,
que se encargaba de la obra.
A nosotros, mensistas y en
gran parte aficionados a las matemáticas, no puede pasarnos inadvertido un
detalle en la cabeza-cúpula de R. B. Fuller. El dibujante la concibió en
principio como un deltaedro (poliedro formado exclusivamente por triángulos),
con vértices de sexto orden, es decir, en los cuales concurren seis ángulos de
las caras del poliedro. Pero de esta forma es imposible cerrar el espacio por
la sencilla razón de que el ángulo de un triángulo equilátero es de 60º, de
modo que al concurrir seis de ellos, la suma de todos los ángulos concurrentes
es 360º, o sea una circunferencia, y el conjunto forma un plano y no un ángulo
poliedro. De hecho, una observación atenta muestra que uno de los vértices de
la cúpula es de quinto orden.
Podrá objetarse, en defensa
del supuesto poliedro con todos los vértices de sexto orden, que los triángulos
no tienen por qué ser equiláteros, con lo que la suma de seis ángulos puede ser
menor de 360º, y el ángulo poliedro así formado será menor que una
circunferencia. Eso es cierto, pero no puede serlo para todos los vértices del
poliedro. En efecto, si es C el número de caras, como cada una proporciona tres
ángulos y la reunión de seis de éstos forma un vértice, el número de éstos será
V = 3C/6 = C/2, y, por consideraciones similares, el de aristas es A = 3C/2.
Todo el conjunto debería cumplir el conocido teorema de Euler, C + V = A + 2, cosa que no ocurre, pues C + V = C + C/2 = 3C/2 ¹ 3C/2 + 2.
Es forzoso que algunos
vértices sean de orden inferior, y por ello son utilizados, como más próximos
posibles, los de quinto orden. Lo curioso es, que, en este caso, el número de
tales vértices debe ser precisamente doce, ni uno más ni uno menos,
independientemente del número de caras del poliedro. Uno de los casos
particulares de tales tipos de poliedros es precisamente el dodecaedro, en que
el número de caras total es doce, con ningún vértice de orden seis.
Como curiosidad, enfoquemos
el problema en el caso general. En todo deltaedro, claro es que el número de
aristas es:
Si llamamos V3, V4, V5 y V6, respectivamente, al
número de vértices de tercero, cuarto, quinto y sexto orden, será:
Si combinamos estas
expresiones con el teorema de Euler, fácilmente obtenemos:
De donde resulta finalmente
una relación lineal entre los números de los distintos tipos de vértices:
De ahí resulta, por ejemplo,
que además del caso visto anteriormente de vértices pentagonales, que un
deltaedro con vértices senarios y triangulares debe contener precisamente
cuatro de éstos (caso particular es el tetraedro regular), y cuando los
vértices son senarios y cuaternarios, habrá tres de éstos (caso particular es
el octaedro regular).
El número de caras aparece
ligado al de los vértices. Para el caso de las cúpulas de Fuller, debe haber un
número par de triángulos, y éstos están en la relación C = 2V6 + 20. Otras similares pueden obtenerse a partir
de ella ecuación general expuesta.
Las cúpulas deltaédricas son
muy frecuentes, y resulta interesante observar en ellas las “quebraduras” en
las alineaciones producidas por los vértices pentagonales, que dan lugar a
interesantes trazas en la superficie.
Existe un correlato a la
propiedad expuesta, aplicable a los poliedros formados por hexágonos y
pentágonos y pentágonos: el número de éstos debe ser precisamente también 12.
Esto es particularmente observable en los caparazones de algunos espongiarios,
como la Aulonia Hexagona, formado por
un pavimento de hexágonos… aunque siempre con algunos pentágonos y aun
cuadriláteros.
Salou,
abril 1998