El arco

 

“El arco”, decía Cayo Lacer, el autor del puente de Alcántara, “es el artificio mediante el cual la materia se vence a sí misma”. Dos milenios después, no se ha superado esta ingeniosa definición.

El arco como elemento de cubrición de un vano (fig. 1) es un cambio espectacular respecto a la viga, única solución practicada por los griegos y egipcios. La viga es un modelo resistente distinto (otro día hablaremos de ella), cuyo principal inconveniente a efectos reológicos es que está sometida a tracciones, y el único material capaz de abosorberlas en la Antigüedad era la madera, con todas sus limitaciones resistentes y de luz abarcable. La piedra, prácticamente el único material de construcción disponible en la Antigüedad, sólo soporta compresiones, y esto reduce las luces posibles, obligando a multiplicar los soportes, al punto de que la columnata forma hoy parte de nuestro sentido estético constructivo.

 

Fig. 1. Esquema de un arco
1. Clave 2. Dovela 3. Trasdós 4. Imposta 5. Intradós 6. Flecha 7. Luz, Vano 8. Contrafuerte

 

Puede hallarse un artículo antológico sobre el arco como elemento generador del puente por el ingeniero de caminos José Antonio Fernández Ordóñez en http://www.albaiges.com/ingenieria/puentesespana.htm.

La piedra resiste muy bien a compresión, pero muy mal a tracción. Y aquí es donde surge la genial idea de yuxtaponer unas piedras junto a otras de forma que, combinada la fuerza vertical del peso a soportar con la línea del arco, “canaliza” el peso como si de un líquido se tratara hasta “conducirlo” a los soportes. Una pieza o dovela se ve sometida a la presión del superior más su peso propio y transmite el conjunto, ligeramente corregido en dirección, a la inferior. El resultado es que cada dovela trabaja únicamente a compresión, y que se pueden salvar luces infinitamente mayores que con el dintel, elemento soportado por una viga..

Surge una pregunta inmediata: ¿Cuál es la curva más adecuada para directriz de un arco? La respuesta es que esto depende del sistema de cargas. Cada uno, según su posición e intensidad, define lo que en Resistencia de Materiales se denomina su “curva funicular”. Ésta es la directriz ideal para un arco.

Una forma bastante eficaz de entender el funcionamiento del arco es imaginarlo “invertido”. Colgando una serie de pesos de una cuerda, ésta tomará espontáneamente la forma de la curva funicular. Tendremos definido un “arco inverso”, en el que la directriz trabajará a tracción y no a compresión. El ejemplo más familiar es la curva de un puente colgante. También los ingenieros, desde tiempo inmemorial, han utilizado el mismo artificio para hallar empíricamente la forma más adecuada del arco que deseaban construir reproduciendo en una maqueta su sistema de cargas.

El caso más sencillo de carga es la uniforme; en este caso la curva funicular es una parábola (fig. 2). Pero en arcos de edificación es poco utilizada; Gaudí y los arquitectos del modernismo fueron de los pocos que hicieron uso de ella, aunque más por motivos estéticos que prácticos o resistentes. Es difícil de construir (obsérvese en la figura que cada dovela es de un tipo distinto), y su inclinación desde el mismo arranque reduce el gálibo o capacidad disponible de paso.

 

Fig. 2. Arco parabólico

 

En cambio, esta directriz, invertida, la vemos en infinidad de puentes colgantes, como el tan conocido Golden Gate, o el de Olafsund (Dinamarca, fig. 3). En ellos, el peso del tablero puede considerarse uniforme a todos los efectos.

 

 

Fig. 3. Puente en Olafsund

 

Ligeramente distinta es la catenaria, funicular de una carga no uniforme, sino proporcional al peso de la propia curva funicular. Para luces grandes en comparación con la altura es casi indistinguible de la parábola.

El punto más espectacular del arco es la pieza superior o clave, que se mantiene en su sitio como desafiando la ley de la gravedad. Asistimos a veces al ingenuo asombro del profano por el hecho de que en puentes como el acueducto de Segovia las piedras se mantienen unidas por su propio peso, sin argamasa alguna. Nada tiene esto de maravilloso según lo explicado: es más, seguramente ninguna argamasa podría mantener en su sitio los sillares si éstos no estuvieran correctamente colocados.

Sin embargo, la curva que más a menudo hallamos en las construcciones romanas como directriz de un arco es la circunferencia (o porciones de ella, muy en especial la semicircunferencia), que podemos ver en las figs. 4 y 5. Juegan a su favor varias razones:

 

·        La circunferencia es la única curva de curvatura constante. En otras palabras: siempre igual a sí misma en toda su longitud. Esto simplifica mucho la construcción, pues las dovelas de que consta el arco pueden ser realizadas en un taller sin más dato que el radio, mientras que una curva funicular de otro tipo requeriría construirlas a medida para cada porción de aquél.

·        La circunferencia permite el paso de un gálibo superior, lo que puede ser muy importante cuando se debe circular bajo el arco, o simplemente se desea que por él circule la mayor cantidad posible de agua.

·        Una tradición de siglos ha educado nuestra sensibilidad, confiriéndole un importante sentido estético.

 

Frente a estas ventajas, la circunferencia presenta un inconveniente: no puede ser funicular de casi ningún sistema de cargas, pues teóricamente una curva funicular nunca terminará con los estribos verticales. En la práctica, pues, la directriz circular sufre siempre algún tipo de flexión, localizada generalmente en los riñones del arco, zona la más propensa a la aparición de grietas.

 

Figs. 4 y 5. Arco de medio punto (Acueducto de Segovia)

 

Vemos en la figura 6 un arco circular y su curva funicular. Obsérvese que ésta no va discurre centrada con el arco, y éste consigue absorber gracias a su grosor los esfuerzos canalizados a través aquélla, pero siempre con un cierto grado de inadaptación. En los arranques la curva funicular es casi vertical, pero siempre aporta una componente horizontal.

 

Fig. 6. Arco circular y su curva funicular (aproximada mediante un polígono)

 

 

El “tránsito” de las cargas a lo largo del arco no se realiza impunemente. Pese a ser éstas en general verticales, su “desplazamiento" a lo largo del arco acaba introduciendo una fuerza horizontal, que actuará sobre los apoyos del arco. Esta componente existe siempre, y su absorción es uno de los principales problemas de la construcción del arco.

Observemos las figuras 7 y 8. El arco, hecho con material blando, se abre al ser “cargado” verticalmente debido a la aparición de fuerzas horizontales en sus estribos, que son contrarrestadas por la propia cohesión de la gomespuma. De no existir ésta, el arco se disgregaría.

 

Figs. 7 y 8. Arco de gomespuma. Se observa la abertura de sus extremos al ser presionado verticalmente en su centro (Priscila Rosa, Universidad de Campinas, Brasil)

 

En la figura vemos el sistema de fuerzas actuantes sobre un arco. Es un hecho conocido desde la más remota antigüedad que el arco “empuja” en sus arranques. De hecho, casi todas las ruinas registradas en puentes ha sido consecuencia de esa apertura cuando no es bien controlada.

 

Fig. 9. Funicular de un arco. Obsérvese la aparición de fuerzas oblicuas en los arranques, que producirán siempre una componente horizontal.

 

Las fuerzas en los arranques son siempre inclinadas, por lo que producirán dos componentes. La vertical es fácilmente absorbida por el apoyo, pero la horizontal precisa de algún elemento resistente adicional.

Es fácil hallar, por las fórmulas de resistencia de Materiales, que el valor de esta componente horizontal vale:

 

 

Siendo:

H: Fuerza horizontal en el arranque

L: Luz del arco

p: Carga por unidad de longitud

f: Flecha o altura del arco

 

Es decir, que el empuje es tanto más suave cuanto más peraltado sea el arco, y más fuerte cuanto más rebajado (fig. 11). De hecho, en estos arcos más “atrevidos” será preciso disponer minuciosamente elementos resistentes capaces de absorber fuerzas horizontales en los arranques.

 

Fig. 10. Casa en Juneda (Lleida)

Fig. 11. Arco escarzano

 

Uno de los medios para eliminar el problema del poco gálibo inferior de un arco no circular es limitar la curva a un arco inferior a una circunferencia. Surgen así los arcos escarzanos como el de la figura. Pero en éstos el empuje pude llegar a ser muy violento; de hecho es muy frecuente verlos con importantes aberturas en las dovelas contiguas a la clave.

Un buen ejemplo es el arco a la derecha en la casa de la figura 10, en Juneda (siglo XVII). El arco es muy rebajado, tanto como decir muy atrevido, y el resultado es que cedió, y tuvo que ser reforzado con un antiestético pilar en el centro. Nótense las consecuencias secundarias de su movimiento: ha sufrido descensos la faja horizontal sobre el arco, las jambas de éste se han abierto, e incluso la esquina del edificio se ha abombado hacia el exterior. Otros problemas, como el desajuste entre los sillares de la casa, fueron corregidos con albañilería.

Otro intento de adaptarse a la curva funicular mediante porciones de circunferencia es la “solución gótica”: el arco almendrado, apuntado u ojival (figs. 12 y 13), que cumple con la propiedad de ser lo suficientemente peraltado como para no producir empujes excesivos en los arranques y a la vez poder construirmese mediante piezas de directriz circular, como el de medio punto. Quedan así conjugadas resistencia y facilidad constructiva. Obsérvese que el arco se parece bastante en su directriz a la curva funicular de la figura 9.

 

Figs. 12 y 13. Arco ojival

 

Existen muchos otros tipos de arco: conopial, de herradura, adintelado, Tudor, etc., aunque responden más a motivos ornamentales, cuando no caprichosos, que a realidades con sentido resistente o funcional.

 

JMAiO, BCN, may 08