DESARROLLO VARIABLE DE LOS ARCOS DE UN GRADO DE MERIDIANO

SEGÚN SU LATITUD.

Desde tiempos muy lejanos se sabe “que la Tierra es redonda” y que gira alrededor de un eje que pasa por los Polos y por la Estrella Polar.

Desde tiempos, ya simplemente lejanos, los navegantes vinieron observando que la distancia, en cada grado que recorrían yendo hacia el Norte o hacia el Sur, variaba de un grado a otro según la latitud en la que se encontraban.

Vamos a ver aquí como varían las longitudes de los arcos de meridiano de grado en grado desde el Ecuador hasta los Polos.

Tomaremos la forma y las dimensiones de la Tierra definidas por el Elipsoide de HAYFORD de 1.924 actualizadas por VEIS en 1.967 (supongo que habrá alguna otra actualización posterior que desconozco).

Aceptemos que la Tierra sea un elipsoide de revolución cuyo semieje mayor tiene un valor de:

a = 6.378.142 m.

y que la relación entre la diferencia de los semiejes mayor y menor y el semieje mayor vale:

Con lo cual el valor del semieje menor será de:

b = 6.356.757 m.

Los meridianos serán por lo tanto elipses cuyos semiejes son los del elipsoide.

Para los cálculos que siguen utilizaremos la elipse en coordenadas paramétricas.

Como se indica en la figura, la latitud de un punto es el ángulo que forma el eje mayor con la normal a la elipse en ese punto. La tangente trigonométrica de este ángulo en función del parámetro f viene dada por la expresión:

Las normales al meridiano-elipse en dos puntos cualesquiera P₁ y P₂, se cortan en un punto Q cuyas coordenadas en función del parámetro f son las siguientes:

Por otra parte el ángulo que forman las normales en P₂ y P_1, que es el incremento de la latitud, tiene como valor:

Entonces, como las distancias P₁Q y P₂Q no son iguales, el valor del arco de elipse P₁P₂ se puede establecer aproximadamente como:

El error que se comete depende lógicamente del intervalo que se adopte para los incrementos de latitud.

Los valores que aquí damos para los desarrollos de los arcos de cada grado de meridiano, están hechos en una hoja de cálculo dividiendo cada uno en 120 intervalos de igual incremento de f.

Como se ve en el desarrollo total del arco de un cuadrante de meridiano, que resulta ser de 10.001.973,34 m., el metro no es “la diezmillonésima parte de un cuadrante” como nos decían en el colegio cuando éramos pequeños. Ni tampoco una milla náutica es la longitud del arco de un minuto de meridiano, cuya dimensión también varía en función de la latitud.

Ni que decir tiene que todo lo expuesto hasta aquí no es ningún trabajo sobre Geodesia, sino un pequeño ejercicio de geometría analítica aplicado a lo que puedan medir los arcos de un grado sobre los meridianos de la Tierra.

Alguien me ha dicho que hoy en día la longitud de un cuadrante de meridiano está establecida en 10.002.288,299 m. con lo cual, si esto es así, los datos que damos para la longitud de cada grado tendrían un error por defecto del orden de los 3,50 m.

Veamos ahora en un cuadro el valor del desarrollo de cada uno de los arcos de un grado de meridiano, expresado en metros.

GR	DESARROLL	GR	DESARROLL	GR	DESARROLL	GR	DESARROLL	GR	DESARROLL
1	110.574,46	19	110.686,26	37	110.968,39	55	111.314,17	73	111.592,02
2	110.575,14	20	110.698,21	38	110.987,13	56	111.332,79	74	111.603,03
3	110.576,49	21	110.710,69	39	111.006,05	57	111.350,96	75	111.613,46
4	110.578,52	22	110.723,69	40	111.025,13	58	111.368,87	76	111.623,30
5	110.581,22	23	110.737,18	41	111.044,34	59	111.386,50	77	111.632,54
6	110.584,58	24	110.751,15	42	111.063,67	60	111.403,82	78	111.641,17
7	110.588,61	25	110.765,59	43	111.083,09	61	111.420,82	79	111.649,18
8	110.593,30	26	110.780,48	44	111.102,57	62	111.437,46	80	111.656,56
9	110.598,64	27	110.795,80	45	111.122,09	63	111.453,74	81	111.663,29
10	110.604,63	28	110.811,53	46	111.141,63	64	111.469,62	82	111.669,38
11	110.611,26	29	110.827,66	47	111.161,17	65	111.485,10	83	111.674,81
12	110.618,53	30	110.844,15	48	111.180,67	66	111.500,15	84	111.679,58
13	110.626,41	31	110.861,01	49	111.200,12	67	111.514,76	85	111.683,67
14	110.634,92	32	110.878,19	50	111.219,50	68	111.528,89	86	111.687,09
15	110.644,02	33	110.895,69	51	111.238,77	69	111.542,55	87	111.689,84
16	110.653,72	34	110.913,48	52	111.257,91	70	111.555,71	88	111.691,90
17	110.664,00	35	110.931,54	53	111.276.91	71	111.568,35	89	111.693,27
18	110.674,85	36	110.949,85	54	111.295,74	72	111.580,46	90	111.693,96

El valor que da la clásica fórmula aproximada del perímetro de la elipse para el cuadrante que nos ocupa es:

Por otra parte, como comprobación, utilizando la serie que expresa el desarrollo de un cuadrante de elipse en las integrales elípticas completas de segunda especie:

donde k² tiene el valor de

obtenemos, para los valores de a y b que hemos adoptado, y tomando los seis primeros términos de la serie (con lo que tendremos una precisión de centímetros en el desarrollo del cuadrante), el valor de:

que multiplicado por el valor del semieje menor b nos da como desarrollo del cuadrante la misma cantidad que habíamos obtenido anteriormente, es decir :

Desarrollo de un cuadrante de Meridiano = 10.001.973,34 m.

Noviembre de 2004. Manuel Rodríguez Sánchez.