LA FUNCIÓN REFLEX

Y EL MÉTODO GENEALÓGICO ALBAIGÈS

LA FUNCIÓN REFLEX

Se define la función reflex, y = ref_k(x), de la siguiente forma: Dado un número x, lo expresaremos en una base dada k, construiremos seguidamente el número “reflejado” en dicha base (es decir, el mismo número escrito al revés) y desharemos finalmente el cambio de base.

Por ejemplo, vamos a hallar ref₆(45).

· Expresándolo en base 6: 45 = 113₍₆₎

· Reflejado: 311₍₆)

· Deshaciendo el cambio de base: 311₍₆₎ = 115

Estudiemos brevemente las propiedades de la función. Se trata de una aplicación inyectiva de R en R, es decir, a todo x corresponde una y. Pero no es exhaustiva, ya que habrá valores de y no procedentes de ninguna x: concretamente, todos aquellos que sean múltiplos de k, pues corresponden, en base k, a un número terminado en cero, que no es el reflejado de ninguno.[1]

Examinemos la estructura de la función valiéndonos de un ejemplo sencillo. Veamos los transformados desde 1 hasta 64 en base 4.

x	ref4(x)	x	ref4(x)	x	ref4(x)	x	ref4(x)
1	1	17	17	33	18	49	19
2	2	18	33	34	34	50	35
3	3	19	49	35	50	51	51
4	1	20	5	36	6	52	7
5	5	21	21	37	22	53	23
6	9	22	37	38	38	54	39
7	13	23	53	39	54	55	55
8	2	24	9	40	10	56	11
9	6	25	25	41	26	57	27
10	10	26	41	42	42	58	43
11	14	27	57	43	58	59	59
12	3	28	13	44	14	60	15
13	7	29	29	45	30	61	31
14	11	30	45	46	46	62	47
15	15	31	61	47	62	63	63
16	1	32	2	48	3	64	1

Transcurrido el primer intervalo 1-3, en que como es natural x = ref₄(x), a partir de x = 4 los valores ref(x) son los de la escala natural tomados de 4 en 4, a la manera de esos juegos o sorteos en que se cuenta según intervalos. Agotado el primer intervalo, el segundo se sucede decalado en una unidad y con período cuádruple, y así sucesivamente.

La gráfica de la función aclara el modo de variación de ésta.

APLICACIONES GENEALÓGICAS DE ref_k(x)

La función reflex tiene interesantes aplicaciones en genealogía, como descubrió el autor en 1999, publicando sus resultados en las revistas Carrollia[2] y el Boletín de la SCGHSV[3], y bautizándolo posteriormente con el nombre de “Algoritmo Albaigès”. Las intercalaciones inducidas por la función resultan muy útiles al hallar el orden de los apellidos en función de los de los ascendientes.

Por ejemplo, es sabido que la numeración de los antepasados de un individuo según el sistema Sousa-Stradonitz, se realiza así: se asigna 1 al individuo, 2 al padre, 3 a la madre, 4 al abuelo paterno, etc., según el siguiente esquema (el signo = representa matrimonio, el ï la filiación).

Generación IV 8 = 9 10 = 11 12 = 13 14 = 15

ï ï ï ï

Generación III 4 = 5 6 = 7

ï ï

Generación II 2 = 3

ï

Generación I 1

El sistema es realmente cómodo, sencillo y además contiene unas correlaciones matemáticas que lo hacen muy práctico. Es fácil, comprobar que:

· Números pares corresponden a varones, los impares a mujeres (a excepción, eventualmente, del propio individuo).

· La generación n contiene 2^n-1 personas. El total de generaciones hasta la n contiene 2ⁿ-1.

· El padre de un sujeto de número k tiene el 2k, la madre el 2k + 1.

· Un matrimonio tiene siempre números correlativos, 2k y 2k+1. Su hijo, como acabamos de ver, tiene el número k.

Pasemos ahora a hacer unas consideraciones sobre los apellidos de una persona. Aunque oficialmente éstos sean solamente dos, de hecho todos llevamos tantos apellidos de nuestros antepasados como conozcamos, dispuestos según la siguiente regla: el primero es el del padre, el segundo el de la madre, el tercero el de la abuela paterna, el cuarto el de la materna, y así sucesivamente, siempre de acuerdo con las siguientes reglas:

· Dentro de una misma generación, el apellido masculino precede al femenino, y los antepasados de antepasados masculinos preceden a los antepasados de antepasados femeninos.

· Los apellidos generacionalmente más próximos preceden a los más alejados.

Que las reglas sean sencillas no quiere decir que lo sean los resultados de aplicarlas. Veamos algunos ejemplos:

· Como es bien sabido, de un matrimonio Álvarez-Bergadà salen hijos con apellidos Álvarez Bergadà. Si un varón hijo de este matrimonio se casa con una mujer de apellidos Cobo-Durán, los hijos resultantes tendrán de 1^o y 2^o apellidos Álvarez-Cobo, i de 3^o y 4^o Bergadà-Durán. Simplificadamente: ACBD.

· Si entonces uno de estos hijos varón se casa con una EGFH (padres respectivos EF i GH), el resultado será un AECGBFDH.

La cosa, como vemos, se complica bastante deprisa. ¿Cómo saber, sin temor a equivocarnos, dónde hay que ubicar cada apellido de los diversos antepasados? No hay que decir que lo ideal sería deducir el número del apellido N a partir del número de Sousa-Stradonitz, que llamaremos SS. El genealogista Armand de Fluvià dice en su libro A la recerca dels avantpassats: “Quizás haya una relación matemática entre unos y otros [SS y N], pero por ahora es desconocida”.

Tal relación matemática es inmediata con la ayuda de ella función reflex, y es la siguiente:

N = ref₂(SS’)

Siendo SS’ el número SS del antepasado portador del apellido excluyendo de él el 1 inicial. De otra forma, SS’ = SS - 2^[log₂ SS].

La demostración es sencilla. Observemos que el SS de un personaje lo obtenemos partiendo del sujeto 1 avanzando por las ramas del árbol genealógico. Si representamos nuestra ruta con un 0 cuando subimos hacia la izquierda y con un 1 cuando lo hacemos hacia la derecha, observaremos que una ruta como la 1101, que conduce al antepasado 1101, equivale al mismo número en base binaria, o sea, en decimal, 13.

Por otra parte, el apellido correspondiente a un determinado SS irá a parar al sujeto mediante unos zigzags también hacia la derecha o la izquierda, que serán justamente los inversos de los que hemos seguido antes a partir del primer número. Del citado personaje SS = 1101 pasaremos al sujeto mediante la ruta 101, que es justamente la misma de antes a la inversa, suprimido el 1 inicial.

Los cálculos anteriores son fácilmente programables por ordenador. Veamos, para completar el tema, las correspondientes correlaciones entre SS y N para valores hasta 255.

RELACIÓN ENTRE SS Y N
SS	N	SS	N	SS	N	SS	N	SS	N	SS	N	SS	N	SS	N
		32	1	64	1	96	2	128	1	160	3	192	2	224	4
1	1	33	17	65	33	97	34	129	65	161	67	193	66	225	68
2	1	34	9	66	17	98	18	130	33	162	35	194	34	226	36
3	2	35	25	67	49	99	50	131	97	163	99	195	98	227	100
4	1	36	5	68	9	100	10	132	17	164	19	196	18	228	20
5	3	37	21	69	41	101	42	133	81	165	83	197	82	229	84
6	2	38	13	70	25	102	26	134	49	166	51	198	50	230