EL TREN DE LEWIS CARROLL

(APOSTILLAS AL PROBLEMA DEL ASTRONAUTA Y SU SUEGRA)

Algunos lectores de [C] se han sorprendido de la solución ofrecida en [C-50] sobre el problema del astronauta y su suegra. Dice Kira Jaén, de Córdoba:

...encuentro una pequeña pega: si el pozo atraviesa la tierra, esa señora, al caer dentro, no volvería a salir. La razón es sencilla: la fuerza de gravedad es siempre atractiva y dirigida hacia el centro de la Tierra, con lo que la suegra, al llegar al centro, allí se quedaría.

En realidad, la perfecta comprensión de ese problema exige algunas consideraciones sobre la gravedad terrestre. La fórmula de la gravitación universal de Newton supone que la fuerza con que es atraída una masa m por a Tierra vale:

F = GMm/x² (1)

Siendo G la constante de gravitación universal y M la masa de la Tierra. Pero esta fórmula es válida para unas masas puntuales M y m situadas a distancia x, y la Tierra no es una masa puntual, por lo que su atracción sobre un punto determinado debe establecerse como la integral de las atracciones elementales que cada punto de la masa terrestre ejerce sobre el punto de masa m. Es decir:

F = òGmdM/x²

Donde la integral viene extendida a todo el interior de la esfera terrestre de radio R. Como su cálculo es algo tedioso, pasaremos por alto los detalles, confiando en la credulidad de los lectores. En el resultado final hay que distinguir dos casos:

· Si el punto es exterior a la Tierra (x>R), es válida la fórmula (1), midiendo x desde el centro de la Tierra. Todo ocurre como si la masa de la Tierra estuviera concentrada en su centro.

· Si el punto es interior a la Tierra (x<R), la atracción sobre él de una parte del volumen terrestre es parcialmente compensada por la de otra, por lo que el cuerpo pesa menos cuanto más se acerque al centro de la Tierra. De hecho, en el centro no pesa nada, pues es atraído por igual hacia fuera en todas direcciones. Además, el cálculo demuestra que (salvo en este último caso) la fuerza total está dirigida hacia el centro y es proporcional a la distancia del cuerpo a éste, alcanzando en la superficie el valor GMm/R² = mg. En otras palabras, el peso del cuerpo vale mg' = mgx/R.

Es decir, que el cuerpo es atraído por la Tierra según una fuerza proporcional al centro de atracción, que es precisamente el caso de un cuerpo solicitado por un muelle elástico. Por tanto, el cuerpo describe un movimiento vibratorio alrededor del centro de la Tierra. Cae hacia su centro, y al llegar a éste se anula la fuerza atractora, pero, en virtud de la energía cinética adquirida, continúa hasta los antípodas, y allí inicia un nuevo movimiento de caída en sentido inverso (claro está que despreciamos el rozamiento del aire).

Es sabido que, en un movimiento de este tipo, regido por una fórmula del tipo F = -kx, el período vale T = 2pÖ(m/k). En nuestro caso, como la constante de proporcionalidad vale k = g/(mR), el período será finalmente:

T = 2pÖ(R/g) = 2pÖ(6,37·10⁶/9,81) = 5063 sec = 84 min

Este problema viene relacionado con el del Tren de Lewis Carroll, que por razones obvias es inevitable citar en nuestra revista. LC imaginó un tren como el de la figura, que circularía sin carbón ni energía alguna, aprovechando el “tirón” de la gravedad terrestre.

Suponiendo la ausencia de rozamientos, el tren adquiriría velocidad a medida que se acercara al centro de su trayecto, perdiéndola a partir de allí, para llegar con la energía justa al final. Lo bueno de este tren es que el tiempo invertido en el trayecto es siempre el mismo cualquiera que sea la longitud: precisamente el mismo hallado anteriormente, T = 84 min. De nuevo ahorramos a nuestros lectores los cálculos, que no son difíciles.

La profundidad máxima z a la que llega el tren tiene una expresión muy parecida a la que vimos el mes pasado para la distancia abarcada desde una altura determinada. Fácilmente se obtiene:

z = L²/(8R) = 0,0196L²

Donde z viene dado en metros y L en kilómetros. En cuanto al ángulo inicial de bajada, supuesto pequeño, es

a = 4z/L = L/(2R) = 7,85·10^-5L

Podemos hacernos interesantes preguntas sobre la viabilidad práctica de este tren. Desde luego es difícil construir túneles por el interior del núcleo terrestre, pero en trayectos cortos bastaría con una simple zanja. Para fijar ideas, imaginemos un trayecto de 8 km de longitud: el tiempo invertido sería más o menos igual al que se tarda en hacer el mismo recorrido a pie. En este caso, la zanja tendría una profundidad máxima en su punto central de:

z = 0,0196·8 = 1,25 m

1,25 m no es excesivo, pero observemos que la pendiente en el punto inicial del trayecto es:

a = 7,85·10^-5·8 = 0,000628 radianes = 0,036^o = 2’ 10”

Este ángulo insignificante supone una pendiente inicial del 0,06 %, incapaz de generar por gravedad el movimiento de ningún tren, pues el rozamiento de éste con la vía siempre tendrá un valor superior.

En técnica ferroviaria suele adoptarse un coeficiente de rozamiento para un tren de un 3,5 % aproximadamente entre el tren y la vía (lo que es tanto como decir que hay que hacer un esfuerzo horizontal de 35 kg por cada tonelada arrastrada en horizontal). O sea, que si queremos que el movimiento del tren se inicie, la pendiente inicial debería ser como mínimo igual a este valor. Esto supone que a longitud el trayecto debería ser como mínimo:

L = 0,035/7,85·10^-5 = 446 km.

Y por tanto, la zanja, en su punto más profundo, iría a una profundidad de:

z = 0,0196·446² = 3896 m

Casualmente ésta es más o menos la distancia entre Madrid y Sevilla, conque los constructores del AVE desdeñaron una idea que les hubiera ahorrado mucho consumo energético. Eso sí, hacer un túnel de 446 km de longitud a 4 km de profundidad es toda una obra de ingeniería que en modo alguno iba a compensar la baratura energética del tren. Pero ahí queda la idea carrolliana...

JMAiO, oct 96