TEORÍA DEL TENTETIESO

Un tentetieso es un objeto dotado de una base en forma de casquete esférico y con el centro de gravedad bajo, de manera que al ser apartado de su posición de equilibrio estable vuelve a ésta. La fantasía popular se ha manifestado en miles de objetos de ese estilo, haciendo posible una deliciosa exposición en el Museu del Joguet de Figueres, la muestra de la cual podemos ver en la portada.

Vamos a examinar el comportamiento del tentetieso desde el punto de vista dinámico. Sea O el centro de la superficie esférica y G el centro de gravedad. Definamos los siguientes valores:

· m: Masa del tentetieso.

· g: Aceleración de la gravedad.

· R: Radio del casquete esférico que forma la base.

· h: Distancia del c.d.g. del tentetieso a la periferia del casquete esférico.

· I: momento de inercia del tentetieso respecto a su c.d.g.

Al inclinarlo un pequeño ángulo j, aparece el par de fuerzas mg formadas por el peso y la reacción, iguales pues suponemos que el rozamiento impide patinar al tentetieso. Ese par forma un momento de recuperación del vuelco:

Este momento de vuelco producirá una aceleración angular:

Por tanto, el movimiento, para valores pequeños de j, viene definido así:

Es decir, que la aceleración algular con que se mueve el tentetieso es aproximadamente proporcional al ángulo j. De donde se deduce que su movimiento será aproximadamente vibratorio armónico, con una pulsación . Como es sabido, el período de un movimiento de este tipo es:

Esta fórmula, muy parecida a la del péndulo compuesto, muestra que las oscilaciones serán tanto más lentas (valores altos de T) cuando el momento de inercia sea muy grande (masa muy alejada del c.d.g.) y cuando estén muy próximos G y O. En el caso extremo en que ambos coinicidieran, el período sería infinito, o dicho de otra forma, el tentetieso no oscilaría, al encontrarse en equilibrio indiferente.

Una duda puede surgir: ¿Qué ocurre si la superficie de apoyo del tentetieso no es esférica? La ecuación intrínseca (definida a partir del radio de curvatura y el ángulo de giro) de la curva generatriz será del tipo r = r(j), y esta función, si admite desarrollo en serie, será del tipo r = r_o + k₁j + k₂j² +..., es decir, que en primera aproximación, siempre puede suponerse r constante en un determinado entorno del punto de apoyo. Sólo dejará de ocurrir esto cuando r_o = 0, y estaremos en este caso en una curva del tipo r = k₁j + k₂j² +..., aproximable mediante una recta. Es claro que en este caso se produciría un vuelco sin más del tentetieso.

En el caso, todavía más excepcional, en que también k₁ = 0, estaríamos ante una curva “casi horizontal”, y las oscilaciones podrían obedecer a leyes dinámicas muy diversas. Incluso podrían definirse curvas de apoyo para las que el movimiento fuera el que se deseara. Por ejemplo, la ecuación intrínseca (r – h) j = constante define una línea de apoyo en que el tentetieso describiría un movimiento uniformemente acelerado.

El caso opuesto, en que r_o = ¥ (curvatura de la base nula) corresponde a una superficie de apoyo plana, y el equilibrio es estable: no podemos hablar de tentetieso.

Josep M. Albaigès

Barcelona, feb 01