LOS PROBLEMAS DE DEPÓSITOS

Ya Herón, el célebre matemático alejandrino, planteó este tipo de problemas. Un enunciado típico podría ser éste:

Un depósito tiene tres espitas, dos para la entrada de agua y una de salida. La primera es capaz de llenar por sí sola el depósito en tres horas, la segunda en cuatro y la tercera lo vaciaría  en 2. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito estando las tres abiertas?

La solución clásica se razona así: La primera espita llena cada hora 1/3 de depósito, la segunda ¼ y la tercera vacía ½. Por tanto, las tres a la vez llenan cada hora 1/3 + ¼ - ½ = 1/12. El conjunto de las tres abiertas hará por tantoque se llene el depósito en doce horas.

Como comenta Y. Perelman en su Física recreativa, este tipo de problemas viene haciéndose desde hace dos mil años, y en todo este tiempo viene haciéndose mal. ¿Por qué? Vamos a examinarlo más de cerca.

Refirámonos a la figura, y llamemos:

· H: Profundidad máxima de agua en el depósito.

· S: Sección del depósito a la altura z (medida desde el fondo).

· s: Sección del conducto de salida.

· v: Velocidad de salida del agua cuando la altura de ésta es z.

· g: Aceleración de la gravedad.

· Q_e: Caudal entrante.

· T_l: Tiempo de llenado del depósito estando sólo abiertas las espitas de entrada.

· T_v: Tiempo de vaciado del depósito estando sólo abierta la espita de salida.

Ninguna dificultad ofrecen las espitas de entrada, que consideraremos como sólo una. Pero la de salida, colocada  lógicamente en el fondo, no vacía el depósito de forma uniforme, ya que el caudal de salida disminuye al disminuir la altura de agua del depósito. En efecto, la velocidad de salida del agua es

Por lo que el caudal de salida es q = vs, y por tanto la variación de altura en un instante dt vale:

En el caso más sencillo, de depósito cilíndrico, en que S es constante, por integración resulta fácilmente la ecuación de la variación de la altura de agua con el tiempo:

Según la cual, el tiempo de vaciado total del depósito es

Observemos que este tiempo es el doble del que tardaría en vaciarse el depósito si se mantuviera en todo momento la velocidad inicial.

Lo dicho basta para hacernos sospechar que el clásico problema, en su caso más general, va a presentar mayores dificultades de las que ingenuamente preveíamos en principio. En efecto, extendiendo el razonamiento anterior, fácilmente concluimos que la ecuación diferencial del vaciado será en el caso general:

Haciendo uso de la obvia igualdad Q_eT₁ = HS, y recordando la anterior que da T_v, se tendrá:

Donde se ha hecho:

Efectuada la integral y simplificando, se llega a:

Puede comprobarse fácilmente que en la anterior expresión, T ® T_l cuando T_l/T_v ® 0, es decir, cuando el tiempo de llenado es pequeño en comparación con el de vaciado. Pero cuando T_v £ 2T_l el depósito nunca llega a llenarse.

En el gráfico puede verse la evolución del tiempo de llenado total para distintos valores de T_v, en el supuesto de un tiempo de llenado T_l = 1 hora (espita de salida cerrada).

En el caso propuesto al principio, según la fórmula clásica sería T_l = 12/7 = 1,71 h, mientras que T_v = 12 h. Fácilmente se halla que, en realidad, T = 2,13 h, valor muy inferior al calculado.

Josep M. Albaigès

Barcelona, marzo 1999