LA
FÓRMULA EXACTA DEL PÉNDULO
Todos hemos estudiado en
bachillerato la famosa fórmula del péndulo: T = 2pÖ(L/g), en la que llama la
atención que el período de oscilación T no depende de la amplitud inicial, que
podríamos representar por el ángulo jo. Suele
advertirse que se cumple la ley del “isocronismo de las pequeñas oscilaciones”,
que según la tradición formuló Galileo al observar que todas las lámparas de la
catedral de Pisa oscilaban sincronizadamente, con independencia de la amplitud
de cada una.
Esta fórmula es muy fácil de
comprobar empíricamente, y desde luego es muy buena, eso, para pequeñas
oscilaciones. De no ser así, el péndulo no habría podido ser la base de los
primitivos relojes exactos, que, como es sabido, basan su precisión en el hecho
de que el péndulo interno que los regula sigue manteniendo su período aunque la
amplitud cambie.
El análisis clásico parte de
que la fuerza impulsora del movimiento de la lenteja, igualada a la masa por la
aceleración, es:
Siendo s el arco de círculo que recorre la lenteja, o sea s = Lj. En otras
palabras, mLj” = - mg sin j. En esa fórmula
se observa que, para pequeñas oscilaciones, puede tomarse j » sin j, y entonces el
péndulo se comporta como un muelle elástico, en el que, como es sabido, la
fuerza recuperadora es proporcional a la amplitud. El péndulo describirá,
aproximadamente, un movimiento vibratorio armónico, y de aquí se obtiene, sin
mucho trabajo, la fórmula con la que hemos empezado el artículo.
Sin embargo, el análisis muestra
una dependencia del período del péndulo con la amplitud. Basta con observar
que, según la figura, la energía potencial perdida al pasar de la amplitud
inicial jo a una genérica
j, vale Ep = mgL(cos j - cos jo), lo que se
igualará con la energía cinética de la lenteja, o sea Ec = mv2/2. Igualándolas ambas, podremos
poner:
Y, como v = -Ldj/dt, recordando la igualdad cos a = 1 - 2 sin2 a/2, se obtiene:
Vamos a intentar la
integración de la anterior ecuación. Para ello, efectuaremos el cambio de
variable:
Con lo cual se podrá poner:
(1)
Donde, para simplificar, se
ha hecho e = sin jo/2.
Esta integral no es
resoluble en funciones elementales. Puede abordarse haciendo uso de las
funciones elípticas, pero dice mucho más a la intuición resolverla mediante
desarrollo en serie. A tal fin, desarrollemos el subradical según la fórmula
del binomio de Newton:
Ahora recordemos que
Entrando en (1) con estas
relaciones, quedará finalmente:
Es decir, que obtenemos la
fórmula clásica del péndulo afectada de un “factor de amplitud”, cuyo valor es
prácticamente 1 para valores pequeños de jo. Incluso para valores en
torno a los 45º, el error es de un 3 % solamente. Pero éste pasa ya a un 18 %
para 90º, y a partir de allí crece cada vez más rápido. No olvidemos que para jo
= p la serie anterior es
divergente (¡el péndulo está invertido, y no llega a ponerse en movimiento!).
Josep M. Albaigès i Olivart
Torredembarra, julio 04