LA CASA VOLANTE DE LC
—Bien, suponga
esta casa, tal como está, ubicada a unos pocos billones de kilómetros por
encima de un planeta, y con ninguna otra cosa en las proximidades capaz de
perturbarla: ¿por supuesto, la casa caería en dirección del planeta?
El conde aprobó
con la cabeza.
—Por supuesto,
aunque podría llevarle algunos siglos caer.
—¿Y será todo
el tiempo la hora del té? Dijo Lady Muriel.
Este comentario del propio Carroll a la escena de la primera Alicia en que ésta cae por el agujero, me intrigó siempre. ¿Tendría razón el conde? Al final me decidí a emprender los cálculos correspondientes, y he aquí los resultados.
Para fijar ideas, supondremos que el
“planeta” es la Tierra. En cuanto a la distancia, ya que se habla de “unos
billones de kilómetros”, estaremos dentro de un orden de magnitud correcto tomando
5×1012 km, o sea cinco
billones[1].
Utilizaremos las siguientes constantes:
· Aceleración de la gravedad g0 = 9,806 m/s2
· Radio medio de la Tierra: R = 6.371 km = 6,371×106 m
Llamaremos T al tiempo invertido por la casa en su trayecto, es decir, desde
el punto inicial, situado a una distancia a
del centro de la Tierra, hasta la superficie ésta.
Cuando la casa se mueve fuera de la Tierra
partiendo con velocidad nula desde un punto situado a una distancia a de su centro, la velocidad viene
regida por la ley de gravitación universal. Por consideraciones de potencial,
fácilmente se deduce:
(3)
Que puede escribirse:
(4)
Para resolver esta ecuación diferencial tomaremos la variable adimensional x = x/a, que corresponde a la elongación referida a la distancia inicial a. Resulta:
Seguidamente haremos el cambio 
, de donde 
, y por tanto:
Determinada la constante C con la condición
de que x(0) = 1,
resulta:
(5)
Para hallar el tiempo empleado en llegar hasta
la superficie de la Tierra, bastará con hacer x = R, y recordando además que
GM = g0R2, resultará:
(6)
Ha llegado el momento de efectuar sustituciones.
Obsérvese que R es despreciable frente a a,
y que el arco tangente de un número muy grande es prácticamente igual a p/2. Con ello, fácilmente obtenemos:
¡Esos “algunos siglos” son veinte millones de
ellos! Realmente es muy difícil acertar a ojo con el orden de magnitud de las
cosas, especialmente en Astronomía.
JMAiO,
feb 2000