CAÍDA LIBRE CON ROZAMIENTO DEL AIRE

El libro A History of Pi, de Petr Beckmann, es algo más que lo que indica su título. El autor hace interesantes incursiones, no sólo en la historia de la matemática en general, sino también del pensamiento humano. A propósito de Arquímedes, el primer matemático que no desdeñó la experiencia como fuente de conocimiento, dice:

Plutarco, Platón y Aristóteles, los padres del snobismo intelectual, enseñaron que la experimentación era propia solamente de esclavos, y que las leyes de la naturaleza podían ser deducidas meramente mediante el uso del agudo intelecto humano, y Aristóteles usó este agudo intelecto para deducir que los cuerpos más pesados caen hacia el suelo más rápidamente, que los hombres tienen más dientes que las mujeres, que la Tierra es el centro del universo, que los cuerpos celestes nunca cambian, y mucha más de esa sabiduría, pues era un prolífico escritor. De hecho, Aristóteles fue batido en su propio terreno, por aguda deducción intelectual sin ayuda de observación experimental. Mucho antes de que Galileo Galilei arrojara las esferas de madera y de piedra desde la torre inclinada de Pisa, [Arquímedes] hizo la interesante pregunta: "Si una piedra de 10 unidades de peso cae diez veces más deprisa que una de una libra, ¿qué ocurrirá si ato ambas piedras? ¿Caerá el conjunto más deprisa que la piedra de 10 porque pesa 11, o más lentamente porque la piedra de 1 retardará la de 10?

Desde Galileo sabemos que en todas las hipótesis la velocidad de caída es la misma... aproximadamente, si prescindimos de la resistencia del aire. Pero si la tomamos en consideración, la piedra de 10 kg cae más aprisa que una de 1 kg, pues dicha resistencia es comparativamente mayor en ésta.

Vamos a responder a la pregunta de Arquímedes. Estudiemos antes el movimiento en el seno del aire, suponiendo que la resistencia de éste es proporcional al cuadrado de la velocidad:

F = -kv²

Donde es k = fk_WS, siendo (sistema MKS):

· f: factor de forma. Para una superficie plana, f = 1, para una esfera, f = 1/2.

· k_W: Constante de resistencia unitaria del aire. k_W = 0,6 N×s²/m⁴

· S: Superficie frontal que se opone al aire. Para un círculo, S = pD²/4

La ecuación de la caída de un cuerpo será:

Fácilmente se deduce que existe un límite a la velocidad que puede alcanzar el cuerpo. Viene dado por la igualdad mg = kv_L², es decir, cuando el peso del cuerpo iguala la resistencia del aire. A partir de entonces, el cuerpo caerá con una "velocidad límite" uniforme, que vale:

La integración de la anterior ecuación diferencial conduce a las expresiones:

Donde ch, th son las razones trigonométricas coseno hiperbólico y tangente hiperbólica, y log es el logaritmo neperiano. De ahí pueden calcularse fácilmente los distintos recorridos. Y ahora viene la triple respuesta:

a) Si sustituimos las dos esferas por una sola de la misma masa conjunta, ésta caerá más deprisa.

Pero Arquímedes hablaba de atar las dos esferas. Y entonces la cuestión es distinta:

· b1) Si las dos esferas caen presentando al aire su máxima superficie, caerán más lentamente que la de 10 kg, y más deprisa que la de 1 kg.

· b2) Pero si caen de forma que la de 10 kg vaya al frente, el conjunto caerá más deprisa que ésta sola.

De hecho, ¿qué ocurrirá en la realidad? Aunque inicialmente la caída se produjera según (b1), la fuerza de resistencia del aire formaría un par de fuerzas que tendería a verticalizar el conjunto (como en una bomba de aviación arrojada por un avión), de manera que pronto éste caería según (b2). Por tanto, la respuesta es siempre que el conjunto cae más aprisa.

Exponemos seguidamente los resultados de todos estos cálculos, suponiendo que g = 9,81 m/s², y que las bolas son esféricas, con densidad g = 2.700 kg/m³. Estos son los recorridos efectuados al cabo de 10 segundos en cada uno de los casos considerados:

CASO v_L (m/s) z(10) (m)

Caso teórico ¥ 490,50

Esfera de 1 kg 72,42 388,09

Esfera de 10 kg 106,30 433,47

Esfera de 11 kg 108,00 434,95

E1+E10 (b1) 101,12 428,63

E1+E10 (b2) 111,48 437,81

¿Qué ocurre, por ejemplo, en el caso de un paracaidista? Los valores típicos son:

· m= 80 kg = 784,8 N

· k_W = 1/16 N×s²/m⁴

· S = 50 m²

La velocidad final está en torno a los 4 m/s

JMAiO, mayo 1994