EL ASTRONAUTA Y SU
SUEGRA
A la memoria de D. Eladio Precioso y
Precioso, profesor en la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid en los años
60.
Recuerdo con especial
cariño un problema un tanto surrealista que nos impuso nuestro profesor de
Física en la Escuela de Ingenieros de Caminos, en aquellos ya lejanos años de
los primeros sputniks: "Un astronauta se enfada
con su suegra, la arroja a un pozo sin fondo (que atraviesa toda la Tierra) e
inmediatamente monta en su cápsula espacial para orbitar nuestro planeta.
¿Volverá a ver a su madre política?"
El problema, tal como
fue resuelto en [C-50], no ofrece muchas dificultades. Consideraremos lo allí
expuesto como la “primera aproximación” al mismo.
PRIMERA APROXIMACIÓN
Constantes utilizadas:
·
Aceleración de la gravedad g0 = 9,806 m/s2
·
Constante de la gravitación G = 6,673 ´ 10-11 N×m2/kg2
·
Radio medio de la Tierra: R = 6.371 km
·
Masa de la Tierra: M = 5,977 ´ 1024 kg
Empecemos estudiando la caída de la suegra en el
pozo perforante. La fuerza de la gravedad varía en razón inversa a la distancia al centro de la
Tierra. Es decir:
Siendo
x la distancia de la suegra al centro
de la Tierra, R el radio de ésta y go la aceleración de la gravedad a nivel del mar.
Por tanto la ecuación del movimiento será:
Es decir, que la fuerza atractora
sobre la suegra, que ocasiona su caída hacia el interior de la Tierra, es
proporcional a la elongación, lo que corresponde a un movimiento vibratorio
armónico de ecuación r = R sen wt, originado por la ecuación dinámica F = -kx. Su
pulsación vale 
, es decir:
Por tanto, el período de vibración vale:
Consideraciones
similares llevan a que la “velocidad de orbitado a altura cero”, vo, es
también igual a la velocidad que lleva la suegra en el centro de la Tierra, y
vale 
m/s.
Pasemos ahora al
estudio del movimiento del astronauta. Éste orbita la Tierra (a altura cero) a
una velocidad v0, que
llamaremos “velocidad de orbitado a altura cero”, y la fuerza centrífuga
generada en la trayectoria circular deberá compensar su peso, esto es:
(1)
De
donde 
, y por tanto 
, que coincide con el valor anterior.
Es decir, ambos
períodos coinciden. ¡El astronauta verá dos veces a su suegra en cada
revolución alrededor de la tierra!
Este singular
resultado nos induce una serie de reflexiones. ¿Realmente es tan "casual"
que ambos períodos coincidan? No, pues el movimiento circular del astronauta
corresponde en realidad a la superposición de dos movimientos vibratorios
armónicos en cuadratura iguales al de la suegra. El conjunto de ambos equivale
un movimiento circular, naturalmente del mismo período.
Claro es que hemos
asumido implícitamente que el satélite artificial orbita la Tierra de forma
rasante, hecho que nunca se da. Si se supone que va a una cierta altura no
despreciable, las igualdades anteriores se alteran y el período de revolución
del astronauta es siempre superior al de oscilación de la suegra, incluso
suplementando los vaivenes de ésta con trayectos por el aire hasta alcanzar al
satélite para saludar a su poco cariñoso yerno.[1]
SEGUNDA
APROXIMACIÓN
Como
se ha dicho, la resolución anterior del problema es imperfecta en aras de la
simplicidad. En efecto, un satélite artificial no puede orbitar a altitud cero.
Vamos
a intentar una segunda aproximación más real. Sea h la altura de la órbita del astronauta. La ecuación (1) deberá
tener en cuenta la atracción gravitatoria de la Tierra a la altura h de orbitado, quedando así:
Observemos
que para altitud cero es 
, por lo que también podemos escribirla:
De donde:
Si
referimos h al radio terrestre, haciendo 
, podremos escribir la ecuación anterior:
Lo que relaciona muy fácilmente la velocidad de
orbitado a una altura relativa b con la correspondiente a
nivel del mar. También podemos calcular el correspondiente período, y referirlo
al anteriormente calculado:
(2)
Esto
modifica el problema. Desde luego, este período es siempre superior a T, pero
el enunciado del problema puede respetarse si consideramos que, para
determinadas alturas, el astronauta y la suegra coincidirán cada na
vueltas del primero y ns
oscilaciones de la segunda. Es decir, cuando naT = nsT0.
Unos cálculos fáciles llevan a:
Para
todos estos valores, astronauta y suegra seguirán coincidiendo.
Observemos,
de paso, que la expresión (1) nos permite resolver otros problemas, como la
altura del satélite en órbita geoestacionaria o el del período de traslación de
la Luna.
TERCERA
APROXIMACIÓN
Pasemos
ahora al caso totalmente general. Supondremos que el astronauta suelta a su
suegra desde la misma altura h en la
que va a orbitar. Tras un recorrido vertical aéreo, la suegra entra en el pozo,
lo atraviesa, sale por el otro extremo elevándose allí nuevamente hasta la
altura h, y se repite el proceso indefinidamente.
Llamaremos:
Te: Tiempo invertido
por la suegra en su “trayecto externo”, es decir, desde el punto inicial hasta
la superficie de la Tierra.
Ti: Id. en el “trayecto interno”,
desde la superficie de la Tierra hasta su centro.
Cuando
la suegra se mueve fuera de la Tierra partiendo con velocidad nula desde un
punto situado a una distancia del centro de la Tierra (naturalmente, a = R + h), la velocidad viene regida
por la ley de gravitación universal. Por consideraciones de potencial,
fácilmente se deduce:
(3)
Que puede escribirse:
(4)
Para resolver esta ecuación diferencial tomaremos la
variable adimensional x
= x/a, que corresponde a la elongación referida a la distancia inicial a. Resulta:
Seguidamente
haremos el cambio 
, de donde 
, y por tanto:
Determinada
la constante C con la condición de que x(0) = 1, resulta:
(5)
Observemos
que la integral, extendida hasta infinito, nos da el tiempo invertido en llegar
al centro de la Tierra, que es finito y vale T = pa/2RÖ2g0.
La
función inversa, x = x(t),
nos da el espacio recorrido en función del tiempo.
Una
simple aplicación de esta fórmula nos dará el “tiempo externo” de la suegra.
Haciendo x = R, y recordando además
que GM = g0R2,
resulta:
(6)
Terminado
el recorrido aéreo de la suegra, regido por la ecuación (5), ésta continuará
por el interior del pozo de acuerdo con el movimiento vibratorio armónico
indicado, si bien con la velocidad inicial v’
alcanzada al llegar a la superficie de la Tierra, es decir, según la ecuación (4):
Esta
fórmula nos indica que para una altura infinita, 
m/s, la famosa
“velocidad de escape” de los astronautas.
El recorrido subterráneo equivale a una parte de un
movimiento vibratorio armónico de amplitud R’ mayor que el anterior, pero con
la misma pulsación (pues ésta depende sólo de g0 y R). Si es
r la elongación en un momento dado y R’ la amplitud, la ley que rige este
movimiento será:
Si es j la fase del
movimiento en el momento en que la suegra inicia su recorrido subterráneo, se
cumple:
De donde resulta:
Y
como wTi = j, resulta el tiempo
interno:
Por tanto, el período total de oscilación de la
suegra es finalmente:
Ts = 4(Te + Ti)
Con ayuda del
ordenador podemos representar las gráficas Ts(a/R), y Ta(a/R), que resultan ser las adjuntas. En
ellas se observa que el período del astronauta, Ta, es siempre
superior al de la suegra, Ts, por lo que éstos jamás se encontrarán.
Otra cosa es la
programación de encuentros tras m
vueltas de uno y n de la otra. En
este caso existirán infinitas soluciones, pero siempre para valores algo
complicados de la relación Ta/Ts, ya que el conciente entre ambos períodos,
cuando a/R tiende a infinito, tiende
a Ö2.
|
a/R |
a (km) |
Te (s) |
v' (m/s) |
Ti (s) |
Ts (s) |
Ta |
|
1 |
6371 |
0 |
0 |
1266 |
5065 |
5065 |
|
1,2 |
7645 |
594 |
4563 |
844 |
5754 |
6657 |
|
1,4 |
8919 |
959 |
5975 |
744 |
6813 |
8389 |
|
1,6 |
10194 |
1319 |
6845 |
691 |
8038 |
10250 |
|
1,8 |
11468 |
1688 |
7452 |
657 |
9381 |
12231 |
|
2 |
12742 |
2072 |
7904 |
633 |
10821 |
14325 |
|
2,2 |
14016 |
2471 |
8256 |
616 |
12348 |
16526 |
|
2,4 |
15290 |
2887 |
8537 |
602 |
13954 |
18830 |
|
2,6 |
16565 |
3317 |
8769 |
591 |
15635 |
21232 |
|
2,8 |
17839 |
3764 |
8962 |
583 |
17385 |
23729 |
|
3 |
19113 |
4225 |
9127 |
575 |
19203 |
26316 |
|
3,2 |
20387 |
4702 |
9268 |
569 |
21084 |
28991 |
|
3,4 |
21661 |
5193 |
9391 |
564 |
23027 |
31751 |
|
3,6 |
22936 |
5698 |
9499 |
559 |
25029 |
34593 |
|
3,8 |
24210 |
6217 |
9595 |
555 |
27089 |
37516 |
Josep
M. Albaigès i Olivart
Barcelona,
enero 2000