ESTUDIO COMBINATORIO
DE LOS NUDOS DE CORBATA
La
revista Nature publicó en su número
398 (04.03.99) un exhaustivo trabajo de los físicos Thomas M. Fink, de Nueva
York, y Yong Mao, de Zhejoiang (China) sobre la clasificación científica de los
nudos de las corbatas. Su análisis es tan simple como ingenioso.
Consideremos una corbata con el nudo ya hecho. Las tiras visibles dividen el plano en tres partes, que llamaremos C, I, D, iniciales de Centro, Izquierda y Derecha respectivamente.
Cualquier
movimiento de los que se imprimen a la pala de la corbata al hacer el nudo
consiste en la introducción de ésta por una de estas zonas, ya hacia dentro
(movimientos C, I, D) o hacia fuera (movimientos C’, I’, D’). El movimiento
final consiste en la introducción de la pala por el nudo ya hecho.
Obsérvese por tanto que cualquier movimiento de la corbata consta de una secuencia de estas letras. Por ejemplo:
§ Nudo italiano: DI’DC’
§ Nudo Windsor: DC’DI’CD’IC’
§ Nudo Medio Windsor: DI’CI’DC’
§ Nudo Shelby: D’CD’IC’
El primer movimiento es
siempre hacia la derecha (D o D’, en ese segundo caso la corbata debe ser
puesta con la costura hacia delante y en el primer movimiento la pala pasa por
debajo de la cola), y el penúltimo hacia el centro saliendo (C’). A él sigue
siempre el movimiento de ensarte del nudo, del que prescindiremos a veces por
comodidad. Es fácil también deducir que cuando el número de movimientos es par,
el primer movimiento es de entrada, y el último de salida. Es decir, que puede
representarse esquemáticamente el nudo mediante una permutación de las letras,
con o sin tilde, según las siguientes reglas:
§ La primera letra es siempre D o D’.
§ Las tildes se alternan.
§ Una letra es siempre distinta a la siguiente y a la anterior.
§ La última letra es la C’.
Observemos que, para cumplir con la regla anterior, la primera letra tendrá tilde si existe un número impar de ellas, y no en caso contrario. Por ello, simplificando más todavía, podemos suprimir las tildes, pues fácilmente se deducen de la fórmula.
Fink y Mao calculan el número total de movimientos mediante el análisis de una malla triangular. Creemos que es más sencillo estudiarlas mediante permutaciones. En efecto, sea n el número total de movimientos. El primero es siempre D (tildes aparte), y a partir de ahí hay siempre dos posibilidades para el siguiente movimiento, aunque el último deberá ser C (también sin tilde).
Por simetría, una tercera parte de los movimientos terminarían en C, por lo que fácilmente se halla la fórmula que da el número de nudos N en función del número de movimientos n:
La siguiente tabla da el número total de nudos en función del número de movimientos m, así como el número total. No se obtienen verdaderos nudos hasta m ≥ 4, por lo que los números que a continuación ofrecemos son ligeramente distintos de los de Fink y Mao.
|
m |
N(m) |
SN(m) |
|
3 |
1 |
1 |
|
4 |
3 |
4 |
|
5 |
5 |
9 |
|
6 |
11 |
20 |
|
7 |
21 |
41 |
|
8 |
43 |
84 |
|
9 |
85 |
169 |
|
10 |
171 |
340 |
|
11 |
341 |
681 |
|
12 |
683 |
1364 |
|
13 |
1365 |
2729 |
|
14 |
2731 |
5460 |
|
15 |
5461 |
10921 |
Los propios Fink y Mao limitan su estudio a m ≤ 8, razonando que los valores suponen nudos tan gruesos que difícilmente pueden ser considerados estéticos. De acuerdo con dicho método, pueden definirse los siguientes nudos de corbata:
|
n=4 |
n=8 |
n=9 |
n=9 |
|
DCDC |
DCDCDCDC |
DCDCDCDIC |
DIDCDCIDC |
|
DCIC |
DCDCDCIC |
DCDCDCIDC |
DIDCDIDIC |
|
DIDC |
DCDCDIDC |
DCDCDIDIC |
DIDCDICDC |
|
n=5 |
DCDCIDIC |
DCDCDICDC |
DIDCDICIC |
|
DCDIC |
DCDCICDC |
DCDCDICIC |
DIDCIDCDC |
|
DCIDC |
DCDCICIC |
DCDCIDCDC |
DIDCIDCIC |
|
DIDIC |
DCDIDCDC |
DCDCIDCIC |
DIDCIDIDC |
|
DICDC |
DCDIDCIC |
DCDCIDIDC |
DIDCICDIC |
|
DICIC |
DCDIDIDC |
DCDCICDIC |
DIDCICIDC |
|
n=6 |
DCDICDIC |
DCDCICIDC |
DIDIDCDIC |
|
DCDCDC |
DCDICIDC |
DCDIDCDIC |
DIDIDCIDC |
|
DCDCIC |
DCIDCDIC |
DCDIDCIDC |
DIDIDIDIC |
|
DCDIDC |
DCIDCIDC |
DCDIDIDIC |
DIDIDICDC |
|
DCIDIC |
DCIDIDIC |
DCDIDICDC |
DIDIDICIC |
|
DCICDC |
DCIDICDC |
DCDIDICIC |
DIDICDCDC |
|
DCICIC |
DCIDICIC |
DCDICDCDC |
DIDICDCIC |
|
DIDCDC |
DCICDCDC |
DCDICDCIC |
DIDICDIDC |
|
DIDCIC |
DCICDCIC |
DCDICDIDC |
DIDICIDIC |
|
DIDIDC |
DCICDIDC |
DCDICIDIC |
DIDICICDC |
|
DICDIC |
DCICIDIC |
DCDICICDC |
DIDICICIC |
|
DICIDC |
DCICICDC |
DCDICICIC |
DICDCDCDC |
|
n=7 |
DCICICIC |
DCIDCDCDC |
DICDCDCIC |
|
DCDCDIC |
DIDCDCDC |
DCIDCDCIC |
DICDCDIDC |
|
DCDCIDC |
DIDCDCIC |
DCIDCDIDC |
DICDCIDIC |
|
DCDIDIC |
DIDCDIDC |
DCIDCIDIC |
DICDCICDC |
|
DCDICDC |
DIDCIDIC |
DCIDCICDC |
DICDCICIC |
|
DCDICIC |
DIDCICDC |
DCIDCICIC |
DICDIDCDC |
|
DCIDCDC |
DIDCICIC |
DCIDIDCDC |
DICDIDCIC |
|
DCIDCIC |
DIDIDCDC |
DCIDIDCIC |
DICDIDIDC |
|
DCIDIDC |
DIDIDCIC |
DCIDIDIDC |
DICDICDIC |
|
DCICDIC |
DIDIDIDC |
DCIDICDIC |
DICDICIDC |
|
DCICIDC |
DIDICDIC |
DCIDICIDC |
DICIDCDIC |
|
DIDCDIC |
DIDICIDC |
DCICDCDIC |
DICIDCIDC |
|
DIDCIDC |
DICDCDIC |
DCICDCIDC |
DICIDIDIC |
|
DIDIDIC |
DICDCIDC |
DCICDIDIC |
DICIDICDC |
|
DIDICDC |
DICDIDIC |
DCICDICDC |
DICIDICIC |
|
DIDICIC |
DICDICDC |
DCICDICIC |
DICICDCDC |
|
DICDCDC |
DICDICIC |
DCICIDCDC |
DICICDCIC |
|
DICDCIC |
DICIDCDC |
DCICIDCIC |
DICICDIDC |
|
DICDIDC |
DICIDCIC |
DCICIDIDC |
DICICIDIC |
|
DICIDIC |
DICIDIDC |
DCICICDIC |
DICICICDC |
|
DICICDC |
DICICDIC |
DCICICIDC |
DICICICIC |
|
DICICIC |
DICICIDC |
DIDCDCDIC |
|
Los
autores del análisis establecen además el “coeficiente de esbeltez”, o cociente
entre el número de movimientos laterales (I o D) y el total. Sólo los valores
de este coeficiente entre 0,25 y 0,50 proporcionan nudos proporcionados.
Los mismos Fink y Mao aplican patrones que consideramos muy discutibles sobre la estética de los nudos, considerando los simétricos como los mejores. Discrepamos rotundamente de esta afirmación.
JMAiO, dic 99